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勾股定理拓展与拔尖
定理：
一、 知识结构
直角三角形的性质:勾股定理

勾股定理
应用:主要用于计算

直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足 则它是一个直角三角形.

二. 知识点回顾
1、 勾股定理的应用： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、 如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c）
（2） 验证与是否具有相等关系
（3） 若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若≠
则△ABC不是直角三角形。
3. 勾股数： 满足=的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41
三．典型题剖析：针对训练、延伸训练
考点一 证明三角形是直角三角形
1、 在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：ÐEFA=90°.

针对训练：1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算
例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，
求△ABC的周长。

针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.

考点三 勾股定理的折叠问题
例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为     ．

针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（　　）

A．3          B．         C．5          D．

考点四 勾股定理的卡车通过大门问题
例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD＝2.3 m，AB＝2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5 m，宽1.6 m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由．

考点五 勾股定理的探究和应用问题
例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：
　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延
　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

针对训练：1观察下列图形，回答问题：
问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为 。
问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是 ；（用图中字母表示）
问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．

考点六 勾股定理的设计问题
例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？

考点七 勾股定理的最短路径问题
例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　　cm．（结果保留π）

针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）
A．5cm
B．5.4cm
C．6.1cm
D．7cm

考点八 勾股定理的勾股数问题

常见的勾股数及几种通式有：

(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … … 3n,4n,5n (n是正整数)

(2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） … …

(3) (8，15，17), (12，35，37) … …

(4)m2－n2,2mn,m2＋n2 (m、n均是正整数，m>n) 简单列出一些：

课堂小测试（8分钟）
1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）
A.第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）
A、a=1.5，b=2, c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6, b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=5
3．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( )
A．4 B． C. D．
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
6、直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm，则它的面积为( )。
A．12 B．6 C．8 D．9
7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（　　）
A、56 B、48 C、40 D、32
8．Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、90 D、不能确定
9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）。
A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确定

勾股定理独立作业（20分钟）
1．下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．13、16、19 B．17、21、23 C．18、24、36 D．12、35、37
2．有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则S△ABC为（ ）
A．96cm2 B．120 cm2 C．160 cm2 D．200 cm2
4．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）
A．1︰2︰4 B．1︰3︰5 C．3︰4︰7 D．5︰12︰13
5．若直角三角形的两直角边的长分别是10cm、24cm，则斜边上的高为（ ）
A．6cm B．17cm C．cm D．cm
6．有下面的判断：
①△ABC中，，则△ABC不是直角三角形。
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则。
③若△ABC中，，则△ABC是直角三角形。
④若△ABC是直角三角形，则。
以上判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．Rt△ABC的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC的第三边，则这个正方形的面积是（ ）
A．25 B．7 C．12 D．25或7
8．一个三角形的三边之比是3︰4︰5，则这个三角形三边上的高之比是（ ）
A．20︰15︰12 B．3︰4︰5 C．5︰4︰3 D．10︰8︰2
9．在△ABC中，如AB=2BC，且∠B=2∠A，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

10．如图是一个边长为60cm的立方体ABCD—EFGH，一只甲虫在菱EF上且距F点10cm的P处，它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是（ ）

A．130 B． C． D．不确定
11．若△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，则此三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（ ）
A． B． C． D．