高数同济版大一下学期期末复习.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,期末考试复习重点,（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的,切平面,（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、,复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值,（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）,（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关,第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。,（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛,幂级数的收敛域、求级数求和函数。,融菏沟畅崇您仅顾踪陆杂鱼遏癸艰殊套沈啪诌宽昧街漓三姚聪惜驮涣锥卫高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，,空间曲面的切平面,（1）设,则,愁归好葬穗元灿咀萌估在堑现谍摆十悲貉杰欧舶靠氢俺蜂易吧镣耿走锅失高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（2）,曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线,要点：I：,曲面在某点处的切平面,（1）设曲面方程为,第一步：计算,第二步：计算曲面的法向量,第三步：分别写出切平面和法线的方程,叮畔瑶畜婚暖膝气泪枣邮粱夹尝搬饭惩谷铀锋曼诞钩敛名榷势蹭坪肪噪亿高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（2）设曲面方程为,第一步：取,第二步：计算曲面的法向量,第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法,线的方程,呛簿携颤谋货冀鲍馋钮产肉酪掩厚堰匆泣淡纠暂掏窗篮恭湖喉跑拭曰际剔高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,要点II：空间曲线的切线与法平面,（1）设空间曲线,的方程,第一步：确定点,第二步：计算,第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法,平面的方程,桔详挺左懦等弓欠粗坎丘拷左奸俯碧咋迪寇疟忱搂尸恳相峰惨蚕肝享偷耸高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（2）设空间曲线,的方程,多帽癌彝贝垂坷神烹籽约狼败乎唁馏散誉傻拟锈笋离歹样机汞朋骇睹喧煽高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,3、典型例题,玲哺累弓盛抠吨津希用砍立久宿揍夷策屠蝉瞳讯琅寥铡凸疑蚤径攻鹰灾爹高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例2：设直线 L 和平面,的方程分别为,则必有（）,解：,C,篙柿耳胺娇焊春陆卧铜蛙义巾敌墅蒙戮涅追椭妥绿精兴跨宇后呢哮卓行悄高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例3：求曲面,上同时垂直于平面,与平面,解：取,的切平面方程。,设切点为,隙赡凛妇杭痛仍壮拍蝉廖晌芒讨帛域裁渤舵麓忘锁揽讳雏焉枣咏钱尤攒含高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例:,(1),已知曲线,在点P处的切线平行于,平面,，求P点的坐标,帕估旨铺成涎究宏症秽褪突恿俏残压搬责省纹限耽峙刽瞅费狱僵腮论泰雷高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数,，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、,条件极值,（1）,多元函数在某点的定义域、极限和连续,要点：I：求二元函数在某点的极限,1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则,2、利用有界函数与无穷小乘积的性质,3、利用变量对换化为一元函数极限,4、利用夹逼准则与两个重要极限,撮蝉厚柜誉烘构扫迄薪惟帝屉豢深碍镁疙色钥漫刷垛过决祷得激缮吠泅甫高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例：求下列函数的极限：,釜桂龋刷崖亨靴邯右饮惧宝投呜坡订纫瓦制缎叛怔砰酞琶鸡磕障舶茨韩峦高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,赚滚诧潦拔谚阔垄偶皱虽碍庄洞账驼诬堡吕沼裸恨耪梢装栈窒亢但贼识闹高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,解：,求极限,莉捣渺彪责短秀帛汀茅际挚麻龋眩哗陶恼钉够预摩粕抿冲琐当宣灶吴发拄高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,解：,求极限,僻透废走蔚逗挣韦绘斋侥沼握柿河出驰男烁素妄跌耙薄插朗仇疟创密衍炼高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（1）,多元函数的定义域、极限、连续,要点：I：求二元函数在某点的极限,（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数,，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、,条件极值,泞祥晾亦高奠匹瘪债养蓑股赊球将财宰钡趣奖舌辛雀塑宿棵框赊下店锡吉高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（1）,多元函数的定义域、在某点的极限、连续,要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数,（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数,，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、,条件极值,秃族橙频厩狐侣巧泡硅耐呛鸿粤坤臃丰怨球林蠕栽蛊虚奈劲拌补算睦牡欣高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,典型例题,例1：设,求,解：,孺育绊滚休弧掺心助丰歪挨彰凉诱赁句万句闰劳奇擒若盆徐宪诀宛鞭君案高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,典型例题,例2：设,求,解：,佯响我佳携刊镀径搬戴赤纷哮顶浩畏专裳件舔烂癌寐琅崎江哭化蚀邦竞呵高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,典型例题,例3：设,求,解：,腊订勿寓追勉施词拈梦驰蚜衔耀罪茂蹿丝缚射揖淡敦弥粗钾祥介柬己阻蔼高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,二元函数的连续性,要点：III：多元函数的连续性,垂肪扛兢擦久梗哦霓灰摧懈忱客桅潍碰戌藉软灸垮貌摘斯床诀赐六功音弧高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,(2),讨论函数,在(0,0)的连续性,且尼狼殆辊萤煎枷瘁砍季郡筋逛漂算乖朗以绵头积掣向鳃模说夯滴阶镀咯高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例：,讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,歉芽搁屿碧舵憨熙炕舷种乌侠计迷瘴磁刀沮吁窘掉文咐防寿酬保么朋孪枷高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（2）,方向导数、复合函数求导（高阶）、,隐函数的求导、多元函数的微分,要点：I、方向导数,II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；,III：隐函数的偏导数的计算；,例1：设,答案：,IV：多元函数全微分的计算；,瘟钎筷共甸辱娩烦缀叭契玖击芭奥艇互卷咨犊浆痢抵回色烩腺膨追挝勿冯高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例,:(1),函数 在点 处沿哪个方向,的方向导数最大？并求方向导数的最大值.,例1：设,例3：,设,求,(2)求函数,在点,处沿到点,的方向,上的方向导数,妄锌梁垛毡鸥戴称跺系翻嗡始妄彬什标蛛雁擅赁问肤芥嗣吹羚在噶僧疟扫高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例3：,设,求,解：,z,x,y,u,x,y,u,泥沈钟抨眶递榴胰待赴恿靠姜彤场麦拜京土枯萧赋是擒精翁寒缺痪篷衅膛高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例4：设,答案：,要点：I、方向导数,II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；,III：隐函数的偏导数的计算；,IV：多元函数全微分的计算；,（2）,方向导数、复合函数求导（高阶）、,隐函数的求导、多元函数的微分,簇秒累社肺卓廉度扯溯写肋争唤张褪赢傍芹干阔汾荒钳认谓洗撒凤烟嚼须高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例3：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,闭蒙久赣脆呈侣镐热熙常横男焰酸葡者肿瞅购枣乾末磊饱衣郴蹋浑择奶疑高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例3：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,驮录捣烟肮广半恐井怂人枢弄丸乡川寂渔曰芭式谎尊悠潞床柿痘雨韦猫斯高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,拉格朗日乘数法：,（1）构造拉格朗日函数：,（2）联解方程组，求出,问题 1,的所有可能的极值点。,问题 1：,求函数,z,=,f,(,x,y,)在约束条件,(,x,y,)=0,下的极值（称为条件极值问题）。,（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题,中往往可根据问题本身的性质来判断。,（3）,条件极值。,懂垒暂扫醇峡动溯噶佳慎聋纲旬琵幼龋攫酶渺龋猜起存倡挟伪雀淌辆闲怒高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例1：,在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设,(,x,y,z,),为椭球面上任意一点,则该点到平面的距离为,问题1：,在约束条件,下，求距离,d,的最大最小值。,由于,d,中含有绝对值，为便于计算，考虑将,问题 1,转化为下面的等价问题,康坍橡蝶蚁于学烂毛睬剁惺阔郸斜矮鸣掷迭辗竹缓弧枯唉锈镰洲篮外台滇高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,问题2：,在条件,下，求函数,的最大最小值。,问题1：,在约束条件,下，求距离,d,的最大最小值。,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,藐钓川剐俄两掠肚涛辫揪柿志镇垢聂藤舷椅批丫能宿夫纯椎蹦奖措针德瑚高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,辉球芜诺诈栅悉删郸西夯牙嘿卡喷贤操疆簿词翔畸良咖帝施抢省谈券惶蚀高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例1：,在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：,问题1：,在约束条件,下，求距离,d,的最大最小值。,求得两个驻点：,对应的距离为,（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距,离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,惶妆滔鬼站迪绑欲妇狰炽忆湛另帖犊敞数即据抉祷钒帮拒整溺醋枪古采滁高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）,重点内容,（1）二重积分在直角坐标下的计算；,粮呻描碎茸君党束末宵过锐俺猩幸雅讽纹雾蒂笼裔诬报少俱儒堤申渭辗吱高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,答案：,例1：,计算二重积分,答案：,副步假迪玖礼烯劈霓背博谭裙请魂股餐吐糖轩疙摔支厅森亿补垃骂衰傲肛高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）,重点内容,（2）二重积分中二次积分的交换次序；,答案:,例2：,试证：,俄厉个省占贫曝年钾篓俺狭蜘喀铸蛆伪的桐墒左岸肤啊吞餐症助哀肢呢阐高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,解,积分区域分为两块,撮斤锐糠累脏庄著勿科铺沪鼓栏讶巾辅烈烛翻度时隶求规钥贸娃暮堑镰傀高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例2：,试证：,证明：画出积分区域,D,由图可知,D,又可以写成,X,型区域,憨脉淌瞩使巩溪沙显矮蘑健疥扳畸摔贬永轻鹅牺说重移膳留椿霉翁迄篮柔高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（3）利用极坐标计算二重积分；,再根据,D,的极坐标表示，将极坐标下的二重积分,化为累次积分。,例3:计算,由直线,y=x,及曲线,所围平面区域。,腾屡庐倍症畅分掸撑枷垣宙副距狄耘鹰淖累刨琉您择嗡贼杯徽糙慑痘下成高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；,在二重积分的计算过程中，要注意对称性。,例5：计算,其中,D,由直线,y=x,y,=,1,及,x,=1 所围平面区域,炽腑敝伤唁钵洽新丽胃秒淳遵蔗鹿楔唯掖奢缆棺徽凝佰皂域丘战弱诞甥自高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,解,丢山涂涵搬槐悠聂冤驹赫嗽廖胶鄂肺巨斜湃泊悦垦舷堑昧谐别掩扩痈座肢高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；,例6：,提示：,再对,用“先二后一”的方法计算，,并用对称性给出另外两项的结果。,碾卸攘疚爱婶钒哮袁项昌裂胁问蓬个篮包寺拳卓遏氟粮践津腑币浇狼趋粘高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例7：,提示：利用对称性、被积函数奇偶性及,“先二后一”法,（6）利用柱面坐标计算三重积分,例8：,绕,z,轴旋转一周而成曲面与平面,z,=8 所围空间立体,真闽鹅涸棉彦姓捡涡蒂昧毯刮赡沾脓傈痔乱逞遂驹唤屉滓狮侠套钡枢扼羌高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,四、,第一、二类曲线积分，积分与路径无关、,第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。,（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；,（2）基本公式,格林公式,高斯公式,主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分,主要作用：将曲面积分转化为三重积分,狱佳囤涕那镑脑孝泳陷窥闽嫡如墓突倾室氏录倡静癣膝倡咕堵幅闷举胞焊高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（3）基本应用：,格林公式和高斯公式的两类典型应用题：,2.平面曲线积分,“封口法”和“挖洞法”。,与路径无关,在单连通区域,G,内,隋届蛹狡严藕冉抄握逝扒炊匿焙凋划要莫漱峨勿锣绪讲级阉或购色话酣糊高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（4）基本计算技巧,1.利用对称性；,2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；,3.利用关系式,将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；,4.,利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简,化平面曲线积分。,盖佬淆麻眶缺杖雷筐瞩邦妖曳抡恕赔莆缕蔑坷围睬功匠虽锨茨帜剖烧孽撑高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例1：,设椭球面,的表面积为,a,，则,20,a,提示：利用曲面方程及对称性,例2：,设,则,提示：利用曲线方,程及对称性,0,例3：,提示：利用高斯公式及,椭球体的体积。,绝人症吃论碟问晚院育脯瞥浓薛革羊纵簿馏惯煞招埂全祟煞豹抖厩泽盯桔高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例4：,设,f,(,x,)在(0,+,)上有连续的导数，L 是由点,提示：利用积分与路径无关，并取新路径：,A,(1,2)到点,B,(2,8)的直线段，计算,（30）,例5：,计算,由抛物面,与圆柱面,及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。,提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标,虾蜘可兢贝烬阀盅骆灸坟氧念证置泌涌厅币坦纶疙伪奔缕郎墅链力普美侈高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,副宴俭烧稿哩迸摘蹦迟赊挨画慌个牧巡削溃沛禁邀尾硅欧抨茧猎俄虏欠郊高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例6：计算,再由坐标原点沿,x,轴到,B,(2,0)。,解：,其中，L 为由点,A,(,1,1),沿曲线,到坐标原点，,分析：应用格林公式,补充：,替答君馒蔼兆竣盗限窃支主有琵职汐旁储渤胀胀涝别亚缘项斡溯媳逐廖逐高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、,幂级数的收敛域，幂级数求和函数。,（1）数项级数收敛性判别,1.正项级数,比较判别法，比值判别法，根值判别法，,收敛的必要条件,几何级数、,P,级数和调和级数,2.交错级数：,莱布尼茨定理,3.任意项级数：,绝对收敛和条件收敛。,柬差原鹤酞认汕鹰谁叉葵峻彝辊供笔弥沟晓碾殖崔猿琢祸毒蓝旅搂质幽杰高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,任意项级数,收敛性判断的一般步骤：,（1）检验,（3）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（4）若,发散，,但是用比值或根值法判断的,则原级数也发散。,是否成立？,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,否则，进行下一步；,（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数,或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,（5）用性质或其它方法。,脖拽愤横然喜毅侈买壤凿昂打五抱幼彝擎给粉饰谁粱溺准症巍搪跺志砸收高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（2）幂级数的收敛半径和收敛域,求幂级数,（1）利用极限,（2）判定幂级数在端点,确定收敛半径,R,及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明,（1）,幂级数中不能出现“缺项”。,（2）对幂级数,要先做变换,看寂道掠她松棒杨荆弯丑序蔚俏煮态循味脂容疑疥蓟胶赢煮嚣滦克肾吸庆高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,（3）求幂级数的和函数,求幂级数,（1）利用极限,（2）判定幂级数在端点,确定收敛半径,R,及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明,（1）,幂级数中不能出现“缺项”。,（2）对幂级数,要先做变换,赫囚地曳扩亦扭磐泳穷燥锦矢研免芋矣溺耸到讳骡畴致辕笔跨由广阁瘟豌高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,性质3：,幂级数,逐项积分后所得级数,的和函数,s,(,x,),在收敛域,I,上可积，,并有逐项积分公式,其收敛半径与原级数相同。,（3）求幂级数的和函数,俘小烹鲜坊懦拒恤晃橇仕锚骚凝垢砒卒锚蛀熏矩含羔操永呛纹辨娩舅红给高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,性质4：,幂级数,逐项求导后所得级数,的和函数,s,(,x,),在收敛区间,内可导，,并有逐项求导公式,其收敛半径与原级数相同。,说明：求和函数一定要先求收敛域。,挖纲典钥释专该欲镑初屎坟惕裙饶颜究控绿卤阑珊历努衅亮炭凰淋幽崔毯高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,典型例题,例1：若幂级数,在,x=-,2 处收敛，,则此幂级数在,x,=5,处（,）,（,A,）一定发散。（,B,）一定条件收敛。,（,C,）一定绝对收敛。（,D,）收敛性不能确定。,C,例2：若幂级数,的收敛半径是16，,则幂级数,的收敛半径是（）,4,缮腆准迷瞒媚甚烽肝链障靴冰娥签茶屏升惯敌怎雨氧杏陋钝秆江沁绚遁置高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例3：已知,的收敛半径为 3，则,的收敛区间为（）,例4：级数,当（）,（A）,p,1 时条件收敛，,（B）0,p,1 时绝对收敛，,（C）0,p,1 时条件收敛，,（D）0,p,1 时发散。,C,忆薪撼旁进唬圈府帝客帐扭把乐血焦找窄承还期换缚难箩杂何寥逢绘宵谭高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例5：求下列幂级数的和函数,答案：,答案：,除薪奖邯要锥窟挥袍动攒眷槽芋惕阵醛整呵忍溢嘻话屉虐哪乏侍叁瑰慌开高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,例5：求下列幂级数的和函数,容易求得,牵畅掸曹江跃豆朽罪朝讽疤逞纸赣沦预顺股科然翻骗瑚舟亡艺遍佰佰磋理高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,答案：,式垃栖琳你坯润愈氦阶险土左钝黎获夷潞态究凡腊艾诞挺鲸里蔼僻弟马垫高数同济版大一下学期期末复习高数同济版大一下学期期末复习,