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平稳随机信号平稳随机信号主要内容主要内容绪论绪论离散随机信号统计分析基础离散随机信号统计分析基础1 1 绪绪 论论从信号描述上分从信号描述上分-确定性信号与非确定性信号；确定性信号与非确定性信号；从信号的幅值和能量上从信号的幅值和能量上-能量信号与功率信号；能量信号与功率信号；从分析域上从分析域上-时域与频域；时域与频域；1.1 1.1 信号的分类信号的分类从连续性从连续性-连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号；从可实现性从可实现性 -物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号。1.1 1.1 信号的分类信号的分类 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号定性信号(随机信号随机信号)。1.2 1.2 确定性信号与非确定性信号确定性信号与非确定性信号a)周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号b)x(t)=x(t+nT)b)非周期信号：在不会重复出现的信号。非周期信号：在不会重复出现的信号。c)非非确确定定性性信信号号：不不能能用用数数学学式式描描述述，其其幅幅值值、相相位位变变化化不不可可预预知知，所所描描述述物物理理现现象象是是一一种种随随机机过过程程。非非确确定定性性信信号号根根据据是是否否能能满满足足平平稳稳随随机机过过程程的的条条件件，又又可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。1.2 1.2 确定性信号与非确定性信号确定性信号与非确定性信号1.3 1.3 随机信号处理随机信号处理随机信号：赋予随机信号：赋予统计结构统计结构的信号；的信号；随机信号处理：对随机信号进行加工或变随机信号处理：对随机信号进行加工或变换。即用换。即用统计的方法统计的方法进行信号处理；进行信号处理；数学基础：统计学中的数学基础：统计学中的判决理论判决理论和和统计估统计估计理论计理论；目的：从各种实际信号中提取目的：从各种实际信号中提取有用信号有用信号；处理对象：处理对象：物理信号物理信号，诸如电信号、光信，诸如电信号、光信号、声信号及震动信号等等；号、声信号及震动信号等等；1.3 1.3 随机信号处理随机信号处理应用：生物医学工程、声学、声纳、雷达、应用：生物医学工程、声学、声纳、雷达、地震学、语音通信、数据通信、核子科学地震学、语音通信、数据通信、核子科学等领域。等领域。1.3 1.3 随机信号处理随机信号处理历史：历史：F第一阶段：经典随机信号理论和技术生长、发展第一阶段：经典随机信号理论和技术生长、发展和成熟时期。和成熟时期。1946年，年，D.O.North提出匹配滤波器理论；提出匹配滤波器理论；1946年，年，B.A.Kotelnikov提出理想接收机理论；提出理想接收机理论；1950年，年，P.M.Woodword提出后概率接受机概提出后概率接受机概念。后来，念。后来，D.Middleton提出风险理论。提出风险理论。1.3 1.3 随机信号处理随机信号处理F第二阶段：第二阶段：现代随机信号处理理论与技术起步和现代随机信号处理理论与技术起步和大发展的时期大发展的时期。20世纪世纪60年代初出现了年代初出现了Kalman滤波理论滤波理论；以非参量统计推断为基础的非参量检测与估计；以非参量统计推断为基础的非参量检测与估计；鲁棒检测。鲁棒检测。现代谱估计理论现代谱估计理论 多维信号处理与分析多维信号处理与分析 非线性检测与估计问题非线性检测与估计问题 自适应理论自适应理论 量子检测与估计理论量子检测与估计理论 2 2 离散随机信号统计分析基础离散随机信号统计分析基础 随机信号随机信号 平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的时域统计表达 平稳随机信号的平稳随机信号的z域及频域的统计表达域及频域的统计表达线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应 随机信号的模型随机信号的模型 2.1 2.1 随机信号随机信号随机变量随机变量 随机信号随机信号 2.1 2.1 随机信号随机信号随机变量随机变量描述自然界中的随机事件描述自然界中的随机事件数学描述数学描述 连续型随机变量连续型随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 概率分布函数概率分布函数概率密度概率密度均值均值均方值均方值方差方差一一阶阶矩矩二二阶阶原原点点矩矩 二二阶阶中中心心矩矩 随随机机变变量量 X 数数字字特特征征2.1 2.1 随机信号随机信号随机变量随机变量数学描述数学描述 联合概率密度：联合概率密度：协方差函数：协方差函数：随随机机变变量量 X和和 Y 2.1 2.1 随机信号随机信号随机信号随机信号概念：概念：G一个随机信号（或序列）是一个随机过程，它一个随机信号（或序列）是一个随机过程，它在每个时间点上的取值都是随机的，可用一个在每个时间点上的取值都是随机的，可用一个随机变量表示。随机变量表示。A或者说，一个随机过程是一个随机试验所产生或者说，一个随机过程是一个随机试验所产生的随机变量依时序组合得到的序列。的随机变量依时序组合得到的序列。本质：本质：一个随机信号一个随机信号X(t)是依赖时间是依赖时间t的随机变量。的随机变量。2.1 2.1 随机信号随机信号随机信号随机信号数学表达：数学表达：G理论：对于理论：对于m个时刻个时刻t1,t2,tm，可得到，可得到m个随机个随机变量变量 ，可用其，可用其m维的概率分维的概率分布函数布函数(或概率密度或概率密度)来描述：来描述：2.1 2.1 随机信号随机信号随机信号随机信号数学表达：数学表达：A工程实际：工程实际：除了采用较低维的分布函数（如一除了采用较低维的分布函数（如一维和二维）外，主要是使用其一阶和二阶的数维和二维）外，主要是使用其一阶和二阶的数字特征字特征。将随机信号将随机信号X(t)离散化，得离散随机信号离散化，得离散随机信号X(nTs)(简记为简记为X(n)均值（数学期望）均值（数学期望）自协方差函数自协方差函数自相关函数自相关函数均方值均方值方差方差随机信号随机信号数学表达：数学表达：求均值运算求均值运算E体现了信号的体现了信号的“集合平均集合平均”！随机信号的自相关函数随机信号的自相关函数 描述了信号描述了信号X(n)在在两个时刻两个时刻n1和和n2的相互关系，是一个重要的统计量的相互关系，是一个重要的统计量 ifthen互协方差函数互协方差函数互相关函数互相关函数随机信号随机信号数学表达：数学表达：ifthen 称信号称信号X和和Y是不相关的。是不相关的。则必有则必有 2.2 2.2 平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的定义平稳随机信号的定义 平稳随机信号相关函数的性质平稳随机信号相关函数的性质 平稳随机信号的各态遍历性平稳随机信号的各态遍历性 2.2 2.2 平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的定义平稳随机信号的定义 如果离散随机信号如果离散随机信号X(n)的的均值与时间均值与时间n无关无关，其其自相关函数和自相关函数和n1,n2的选取无关的选取无关，而仅和，而仅和n1,n2之之差有关，那么称差有关，那么称X(n)为宽平稳的随机信号，或广为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。义平稳随机信号。均值（数学期望）均值（数学期望）互协方差函数互协方差函数互相关函数互相关函数自协方差函数自协方差函数自相关函数自相关函数均方值均方值方差方差2.2 2.2 平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号相关函数的性质平稳随机信号相关函数的性质性质性质1性质性质2 若若X(n)是实信号，则是实信号，则 若若X(n)是复信号，则是复信号，则 性质性质3 性质性质4 性质性质5 由由2M+1个自相关函数个自相关函数 组成的矩阵组成的矩阵平稳随机信号相关函数的性质平稳随机信号相关函数的性质 是非负定的。是非负定的。平稳随机信号相关函数的性质平稳随机信号相关函数的性质 自相关函数和自协方差函数的关系：自相关函数和自协方差函数的关系：自相关函数和自协方差函数只差一个常数，其自相关函数和自协方差函数只差一个常数，其它特性相同。它特性相同。平稳随机信号相关函数的性质平稳随机信号相关函数的性质 自相关函数的重要性：自相关函数的重要性：当当m愈大则相关性愈小，愈大则相关性愈小，m趋于无穷大时，趋于无穷大时，可以认为不相关。可以认为不相关。平稳随机信号相关函数的性质平稳随机信号相关函数的性质 自相关函数的重要性：自相关函数的重要性：是随机过程是随机过程X(n)最主要的统计表征最主要的统计表征：例题例题随机相位正弦序列，随机相位正弦序列，式中式中A和和f均为常数，均为常数，是一随机变量，在是一随机变量，在02内服内服从均匀分布，即从均匀分布，即显然，对应显然，对应的一个取值，可得到一条正弦曲线。的一个取值，可得到一条正弦曲线。求其均值及其自相关函数，并判断其平稳性。求其均值及其自相关函数，并判断其平稳性。2.2 2.2 平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的时域统计表达平稳随机信号的各态遍历性平稳随机信号的各态遍历性 平稳随机信号平稳随机信号X(n)，如果它的所有样本函数，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称本函数在长时间内的统计特性一致，则称X(n)为为各态遍历信号。各态遍历信号。时间平均时间平均 时间平均时间平均 例题例题讨论随机相位正弦序列讨论随机相位正弦序列的各态遍历性。的各态遍历性。2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z域及频域的域及频域的统计表达统计表达 与与 的的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域功率谱功率谱 2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域域及频域的统计表达的统计表达 与与 的的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 其中其中C是一条在收敛域内反时针方向绕原点一周的是一条在收敛域内反时针方向绕原点一周的围线。围线。2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域域及频域的统计表达的统计表达 与与 的的z z变换及其收敛域变换及其收敛域当当 时，时，有，有 实实平平稳稳随随机机过过程程收敛域收敛域 收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆 令令 有有 2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域的统域及频域的统计表达计表达功率谱功率谱则：则：取单位圆作积分围线，并将取单位圆作积分围线，并将 代入下式中代入下式中 Px()：功功率谱密度率谱密度 2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域的统域及频域的统计表达计表达功率谱功率谱当当 时，时，功率谱密度是功率谱密度是的的偶偶函数函数，且必是，且必是非负非负、实实的的 自相关函数与功率谱密自相关函数与功率谱密度为一对傅氏变换对度为一对傅氏变换对 2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域的统域及频域的统计表达计表达功率谱功率谱x(n)与与y(n)的互功率谱密度：的互功率谱密度：又由于又由于 所以所以 因而有因而有 2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域的统域及频域的统计表达计表达功率谱功率谱无限长信号过程的功率谱密度函数的无限长信号过程的功率谱密度函数的实质实质:F是无限多个无限长信号样本函数的功率谱密度函是无限多个无限长信号样本函数的功率谱密度函数的集合平均。数的集合平均。F若各态历经的假设成立，则平稳随机信号的一个若各态历经的假设成立，则平稳随机信号的一个样本功率谱密度函数蕴涵着集合统计平均的实质。样本功率谱密度函数蕴涵着集合统计平均的实质。F随机信号功率谱密度函数和自相关函数（作为一随机信号功率谱密度函数和自相关函数（作为一对傅氏变换对）都表达了随机信号的统计平均特对傅氏变换对）都表达了随机信号的统计平均特性。性。2.3 2.3 平稳随机信号的平稳随机信号的z z域及频域的统域及频域的统计表达计表达功率谱功率谱工程实际中遇到的功率谱种类工程实际中遇到的功率谱种类:F白噪声谱白噪声谱F线谱线谱 FARMA谱谱 F白噪声谱白噪声谱一个平稳的随机序列一个平稳的随机序列(n)，如果其功率谱在，如果其功率谱在的范围内始终为一常数，我们称该序列为白噪声序的范围内始终为一常数，我们称该序列为白噪声序列。其自相关函数：列。其自相关函数：它说明白噪声序列在任意两个不同的时刻是它说明白噪声序列在任意两个不同的时刻是不相关不相关的。的。若若w(n)是高斯型的，那么它在任意两个不同时刻又是是高斯型的，那么它在任意两个不同时刻又是相互独立相互独立的的 白噪声序列是最随机的！白噪声序列是最随机的！F线谱线谱常数常数 ：均匀分布的随机变量：均匀分布的随机变量 可求出可求出 2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应 均值均值 自相关函数及功率谱自相关函数及功率谱互相关函数及互功率谱密度互相关函数及互功率谱密度2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应 平稳随机信号平稳随机信号x(n)通过一线性移不变系统通过一线性移不变系统 H(z)(单位冲激响应为单位冲激响应为h(n)，输出为，输出为y(n)：y(n)也是随机的，且也是平稳的。也是随机的，且也是平稳的。已知实随机信号已知实随机信号x(n)的的 如何求得如何求得 y(n)的这些特征量？的这些特征量？2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应均值均值my因为因为 所以有所以有 与时间无与时间无关的常数关的常数2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应自相关函数自相关函数 及功率谱及功率谱结论：对于一个线性非时变系统，如果用一个平稳随结论：对于一个线性非时变系统，如果用一个平稳随机信号激励，则输出信号也将是一个平稳随机信号。机信号激励，则输出信号也将是一个平稳随机信号。因为因为 所以所以 2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应自相关函数自相关函数 及功率谱及功率谱结论：结论：x(n)与与h(n)的卷积的自相关，等于的卷积的自相关，等于x(n)的自相关的自相关和和h(n)的自相关的卷积的自相关的卷积。v(m)是是h()的自相关序列，是时间卷积的结果。的自相关序列，是时间卷积的结果。ifthen相关相关-卷卷积定理积定理 推广：卷积的相关，等于相关的卷积推广：卷积的相关，等于相关的卷积 2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应自相关函数及功率谱自相关函数及功率谱维纳维纳-辛钦定理辛钦定理:含义：一个随机信号通过系统含义：一个随机信号通过系统H(z)，从频域看其输，从频域看其输出功率谱密度等于输入功率谱密度与出功率谱密度等于输入功率谱密度与H(ej)的模平的模平方的乘积方的乘积 2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应 互相关函数互相关函数 及互功率谱密度及互功率谱密度输入输入-输出互相关定理输出互相关定理 2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应 互相关函数互相关函数 及互功率谱密度及互功率谱密度线性非时变系统的输入与输出间的互相关函数线性非时变系统的输入与输出间的互相关函数 与输入自相关函数与输入自相关函数 及输出自相关函数及输出自相关函数 间的间的关系：关系：等于等于 和和h(m)的卷积的卷积 等于等于 与与h(-m)的卷积的卷积 2.4 2.4 线性系统对随机信号的响应线性系统对随机信号的响应互相关函数互相关函数 及互功率谱密度及互功率谱密度设设 （自相关函数的（自相关函数的z变换存在）则将上式转变换存在）则将上式转换到换到z域有：域有：用功率谱表示有用功率谱表示有 互相关函数互相关函数 及互功率谱密度及互功率谱密度当输入为白噪声时，其功率谱密度当输入为白噪声时，其功率谱密度 为常数为常数 平均功率平均功率白噪声的功率在频率轴上的分布密度到处相同，白噪声的功率在频率轴上的分布密度到处相同，并且它就等于输入信号的平均功率。并且它就等于输入信号的平均功率。互相关函数互相关函数 及互功率谱密度及互功率谱密度将将代入代入中，有中，有将将代入代入中，有中，有白噪声激励的线性非时白噪声激励的线性非时变系统，其输入、输出变系统，其输入、输出互相关函数正比于系统互相关函数正比于系统的冲激响应的冲激响应 输入、输出输入、输出的互功率谱的互功率谱正比于系统正比于系统的频率响应的频率响应 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型 ARMA模型模型 MA模型模型 AR模型模型 Yule(1972)的思想的思想：2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型 强相关时间序列强相关时间序列u(n)可用独立的随机序列作用可用独立的随机序列作用于一个线性滤波器产生。于一个线性滤波器产生。2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型ARMA模型模型 用有理传递函数表示的随机过程可以用有理传递函数表示的随机过程可以通通过白噪声驱动具有有理传递函数的系统产过白噪声驱动具有有理传递函数的系统产生。生。2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型ARMA模型模型 自回归滑动平均（自回归滑动平均（autoregressive moving average-ARMA）模型输入和输出的关系：）模型输入和输出的关系：零均值，功率为的零均值，功率为的 2 白噪声白噪声 自回归参数自回归参数 动平均参数动平均参数 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型ARMA模型模型系统的传递函数：系统的传递函数：功率谱：功率谱：极零点滤极零点滤波器波器 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型MA模型模型 滑动平均（滑动平均（moving average-MA）模型）模型输入和输出的关系：输入和输出的关系：其它所有其它所有ai0 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型MA模型模型系统的传递函数：系统的传递函数：功率谱：功率谱：q阶全零点滤阶全零点滤波器波器 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型AR模型模型 自回归（自回归（autoregressive-AR）模型输）模型输入和输出的关系：入和输出的关系：其它所有其它所有bi0 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型AR模型模型系统的传递函数：系统的传递函数：功率谱：功率谱：p阶全极点滤阶全极点滤波器波器 2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型F功率谱估计功率谱估计：从随机过程单个样本的有限：从随机过程单个样本的有限测测 量集来估计随机过程的功率谱。量集来估计随机过程的功率谱。F谱估计方法：非参数法和参数法。谱估计方法：非参数法和参数法。F参数法：将谱估计的问题转化为估计模型参数法：将谱估计的问题转化为估计模型的参数。的参数。三种模型系数间的关系三种模型系数间的关系 问题：选择何种模型？问题：选择何种模型？2.5 2.5 随机信号的模型随机信号的模型FWold分解定理分解定理：AR模型或模型或ARMA模型可模型可用一个可能是无穷阶用一个可能是无穷阶MA模型表示模型表示。FKolmogorov-Szego 定理定理：MA模型或模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶模型可用一个可能是无穷阶AR模型模型表示表示。三种模型系数间的关系三种模型系数间的关系 问题：选错模型怎么办？问题：选错模型怎么办？