安徽省亳州市十八中2025-2026学年高一上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

安徽省亳州市十八中2025-2026学年高一上数学期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
2．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为

A. B.
C. D.
3．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
4．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（）

A. B.
C. D.
5．计算：的值为
A. B.
C. D.
6．已知函数的图像过点和，则在定义域上是
A.奇函数 B.偶函数
C.减函数 D.增函数
7．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．的值等于（ ）
A. B.
C. D.
9．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为则

A. B.
C. D.
10．已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小正周期为，且.当时，则函数的对称中心__________;若，则值为__________.
12．在中，，，与的夹角为，则_____
13．求值: ____.
14．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
15．已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为________
16．计算_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析式；
（2）若和在区间上都是减函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，比较和的大小.
18．已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）画出在上的图象
19．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：）.

（1）试画出它的直观图（不写作图过程）；
（2）求它的表面积和体积.
20．如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.
21．已知向量，，设函数
Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ求函数在区间的最大值和最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.
【详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足
，解得.
故选：B.
2、D
【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
3、D
【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，

由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为
故选:D.
4、B
【解析】根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可.
【详解】过点作，垂足为

则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形
，
根据直观图画出原图如下：

可得原图形为直角梯形，，
且，
可得原四边形的面积为
故选：B.
5、A
【解析】运用指数对数运算法则.
【详解】
.
故选:A.
【点睛】本题考查指数对数运算，是简单题.
6、D
【解析】∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴∴f（x）=log4（x-3）．∴f（x）是增函数．∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数
故选D
7、A
【解析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，令，则，可得，
设，其中，任取、，
则.
当时，，则，即，
所以，函数在上为减函数；
当时，，则，即，
所以，函数在上为增函数.
所以，，，，则，
故函数在上的值域为，
所以，，解得.
故选：A.
8、D
【解析】利用诱导公式可求得的值.
【详解】.
故选：D
9、C
【解析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解
【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：
甲组数据靠上，乙组数据靠下，
甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，
由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为
得，
故选
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
10、D
【解析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可
【详解】依题意，

，故选D
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据最小正周期以及关于的方程求解出的值，根据对称中心的公式求解出在上的对称中心；先求解出的值，然后根据角的配凑结合两角差的正弦公式求解出的值.
【详解】因为最小正周期为，所以，
又因为，所以，
所以或，
又因为，所以，所以，
所以，
令，所以，
又因为，所以，所以对称中心为；
因为，，所以，
若，则，不符合，
所以，所以，
所以，
故答案为：；.
12、
【解析】利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得，开方得到结果.
【详解】

【点睛】本题考查向量模长的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转变为向量的数量积和模长的运算，属于常考题型.
13、
【解析】根据诱导公式以及正弦的两角和公式即可得解
【详解】解：因为，

故答案为：
14、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
15、
【解析】利用函数单调性的定义求解即可.
【详解】由已知条件得，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
16、1
【解析】，
故答案为1

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据函数奇偶性的定义可得出关于和的等式组，即可解得函数和的解析式；
（2）利用已知条件求得；
（3）化简的表达式，令，分析关于的函数在上的单调性，由此可得出与的大小.
【小问1详解】
由已知可得，，，
所以，，
，解得.
即.
【小问2详解】
函数在区间上是减函数，
则，解得，
又由函数在区间上是减函数，得，则且，
所以.
【小问3详解】
由（2），
令，
因为函数和在上为增函数，
故函数在上为增函数，
所以，，
而，
所以，
即.
18、 (1) ,(2)见解析
【解析】（1）计算,得到答案.
（2）计算函数值得到列表，再画出函数图像得到答案.
【详解】（1）令,，得,
即，.
故的单调递增区间为，.
（2）因为所以列表如下：

0

0

2
4
0

0
2

【点睛】本题考查了三角函数的单调性和图像，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
19、（1）直观图见解析；（2）， .
【解析】（1）由三视图直接画出它的直观图即可；
（2）由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，分别计算其表面积和体积可得答案.
【详解】解：（1）直观图如图所示.

（2）由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以，，为棱的长方体的体积的.
在直角梯形中，作，则是正方形，
∴.
在中，，，∴.
∴

.
∴几何体的体积.
∴该几何体的表面积为，体积为.
【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查学生的直观想象能力，数学计算能力，属于中档题.
20、 (1) (2)见解析
【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线
解析：（1）取中点连结.在等边三角形中，，
又∵在直三棱柱中，侧面面，
面面，∴面，
∴为三棱锥的高，又∵，∴，
又∵底面为直角三角形，∴，
∴三棱锥的体积
（2）作法：在上取，使得，连结，即为所求直线.
证明：如图，在矩形中，连结，
∵，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵面，而面，∴，
又∵，∴面，
又∵面，∴.

点睛：这个题目考查的是立体几何中椎体体积的求法，异面直线垂直的证法；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题；或者通过证明线面垂直得到线线垂直；对于棱锥体积，可以等体积转化到底面积和高好求的椎体中
21、 (Ⅰ)最小正周期是，增区间为，；(Ⅱ)最大值为5，最小值为4
【解析】Ⅰ根据向量数量积，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；Ⅱ根据的范围得的范围，结合正弦函数的单调性可得的最大最小值
【详解】Ⅰ，，

，
，
由，得，
所以的增区间为，；
Ⅱ， ，
可得
，
的最大值为5，最小值为4
【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，三角函数的图象与性质为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.