吉林省德惠市实验中学2025年数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

吉林省德惠市实验中学2025年数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在区间是
A. B.
C. D.
2．下列结论中正确的是
A.若角的终边过点，则
B.若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角
C.若，则
D.对任意，恒成立
3．已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．若集合，则
A. B.
C. D.
6．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若，则的大小关系为.
A. B.
C. D.
8．若点在函数的图像上，则
A.8 B.6
C.4 D.2
9．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
① ②与成角
③与为异面直线 ④
以上四个命题中，正确的序号是

A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③④
10．一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，与的夹角为60°，则________.
12．命题“”的否定是______.
13．圆在点P（1，）处的切线方程为_____
14．函数的值域是__________
15．已知集合，则的元素个数为___________.
16．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的定义域为
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值
18．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若不等式在有解，求实数m取值范围.
19．已知函数是奇函数，且；
（1）判断函数在区间的单调性，并给予证明；
（2）已知函数（且），已知在的最大值为2，求的值
20．设为实数，函数
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；
（3）求的最小值.
21．已知函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】通过计算，判断出零点所在的区间.
【详解】由于，，，故零点在区间，故选B.
【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题.
2、D
【解析】对于A，当时，，故A错；对于B，取，它是第二象限角，为第三象限角，故B错；对于C，因且，故，所以，故C错；对于D，因为，所以，所以，故D对，综上，选D
点睛：对于锐角，恒有成立
3、B
【解析】根据题意，得到函数为偶函数，且在为单调递减函数，则在为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】由题意，函数关于直线对称，所以函数为偶函数，
又由当时，恒成立，
可得函数在为单调递减函数，则在为单调递增函数，
因为，可得，即或，
解得或，即不等式的解集为，
即满足的x的取值范围是.
故选：B.
4、D
【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，

由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为
故选:D.
5、D
【解析】详解】集合，
所以.
故选D.
6、A
【解析】函数在上是减函数，根据指数函数的单调性得出；函数在上是增函数，得出且，从而可得出答案.
【详解】函数在上是减函数，则；
函数在上是增函数，则，而且，解得：且，
故“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.
故选：A.
7、D
【解析】由指数函数，对数函数的单调性，求出的大致范围即可得解.
【详解】解：因为，，
即，
故选D.
【点睛】本题考查了比较指数值，对数值的大小关系，属基础题.
8、B
【解析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值
【详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，
∴解得：tanθ＝3，
∴2tanθ＝6，
故选B
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题
9、D
【解析】
由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：
由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；  ②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；
④易证，故，正确；故选D
10、C
【解析】根据互斥事件定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B错误；
对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D错误.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、10
【解析】由数量积的定义直接计算.
【详解】.
故答案为：10.
12、
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.
【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“”.
【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.
13、x－y＋2＝0
【解析】圆，
点在圆上，
∴其切线方程为，
整理得：
14、
【解析】利用换元法，将变为，然后利用三角恒等变换，求三角函数的值域，可得答案.
【详解】由，得，
可设，
故，不妨取为锐角，
而，时取最大值），
，
故函数的值域为，
故答案为:.
15、5
【解析】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.
【详解】因为集合，集合，
所以，
所以的元素个数为5.
故答案为：5.
16、
【解析】由函数的奇偶性与单调性分析可得，结合对数的运算性质变形可得，从而可得结果
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以，
又由，
则原不等式变形可得，
解可得：，
即的取值范围为，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了指数函数的单调性以及对数的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）函数，所以函数的值域为
（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有 成立，即，只要即可，由，故， 所以，故的取值范围是；
（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时，在上单调减，无最大值，当时取得最小值； 当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当 时取得最小值.
【点睛】利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法．特别注意当函数含有参数时，而参数又会影响了函数的单调性，从而需要分类讨论求函数的值域
18、（1）；（2）.
【解析】（1）函数是上的奇函数，利用，注意检验求出的是否满足题意；（2）由（1）得，把不等式在有解转化为在有解，构造函数，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由为上的奇函数，
所以，
则，检验如下：
当，，
，
则函数为上的奇函数.
所以实数a的值.
（2）由（1）知，
则，
由得：，
因为，
等价于在有解，
则，
令，
设
，
当且仅当或（舍）取等号；
则，
所以实数m取值范围.
【点睛】关键点睛：把不等式在有解转化为在有解，构造函数出是解决本题的关键.
19、（1）函数在区间是递增函数；证明见解析；（2）或
【解析】（1）由奇函数定义建立方程组可求出，再用定义法证明单调性即可；
（2）根据复合函数的单调性，分类讨论的单调性，结合函数的单调性研究最值即可求解
【详解】（1）∵是奇函数，∴，
又，且，
所以，，经检验，满足题意
得，所以函数在区间是递增函数
证明如下：且，所以有：

由，得，，又，故，
所以，即，所以函数在区间是递增函数
（2）令，由（1）可得在区间递增函数，
①当时，是减函数，故当取得最小值时，
（且）取得最大值2，
在区间的最小值为，故的最大值是，∴
②当时，是增函数，故当取得最大值时，（且）取得最大值2，
在区间的最大值为，故的最大值是，
∴或
20、（1）0（2）t（a）（3）12﹣8
【解析】（1）a＝1时，函数f（x）＝（x﹣1）2﹣1，根据二次函数的性质即可求出它的值域；
（2）化简g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，讨论确定函数的单调性，求出最大值，得出t（a）的解析式；
（3）分别求出各段函数的最小值（或下确界），比较各个最小值，其中的最小值，即为求t（a）的最小值
【详解】（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，
∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，
在区间上的最大值为0；
（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，
①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上增函数，
故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；
②当0＜a＜1时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），
故当0＜a＜22时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当22≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，
故t（a）＝g（a）＝a2，
④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，
t（a）＝g（2）＝4a﹣4，
故t（a）；
（3）由（2）知，
当a＜22时，t（a）＝4﹣2a是单调减函数，，无最小值；
当时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8；
当时，t（a）＝4a﹣4是单调增函数，最小值为t（2）＝4；
比较得t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8
【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值问题的解法，含参以及含绝对值的二次函数在闭区间上的最值问题和分段函数的最值问题的解法，意在考查学生的分类讨论思想意识以及数学运算能力
21、（1）（2）
【解析】（1）利用换元法令,求得的表达式,代入即可求得参数,即可得的解析式;
（2）根据函数单调性,即可求得在上的值域.
【详解】（1）令,则,
则.
因为,所以,解得.
故的解析式为.
（2）由（1）知,在上为增函数.
因为,,
所以在上的值域为.
【点睛】本题考查了换元法求二次函数的解析式,根据函数单调性求函数的值域,属于基础题.