湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2026届数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2026届数学高二上期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A.2 B.
C. D.
2．黄金矩形是宽（）与长（）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是

A. B.
C. D.
3．若圆的半径为，则实数（）
A. B.-1
C.1 D.
4．函数y=的最大值为
Ae-1 B.e
C.e2 D.
5．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．一直线过点，则此直线的倾斜角为（ ）
A.45° B.135°
C.－45° D.－135°
7．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
8．我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（ ）
A.底层塔共挂了128盏灯
B.顶层塔共挂了2盏灯
C.最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200
D.最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍
9．设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则（）
A.4 B.5
C.8 D.10
10．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A.5 B.
C.3 D.3或
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为

A.
B.
C.
D.
12．已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；
命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是
A. B.2
C.1<≤ 2 D.≤ l或>2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________.
14．若球的大圆的面积为，则该球的表面积为___________.
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

16．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为______,点到平面的距离等于______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，对于有限集，令表示集合中元素的个数．例如：当时，，
（1）当时，请直接写出集合的子集的个数；
（2）当时，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求满足条件的有序集合对的个数；
（3）假设存在集合、具有以下性质：将1，1，2，2，··，，．这个整数按某种次序排成一列，使得在这个序列中，对于任意，与之间恰好排列个整数．证明：是4的倍数
18．（12分）为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富、形式多样、有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名、女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查.
（1）调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表.并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？
愿意参加体育活动情况
性别
愿意参加体育类活动
不愿意参加体育类活动
合计
男学生

女学生

合计

（2）在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

0.100
0.050
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中.
19．（12分）已知的内角的对边分别为a，，若向量，且
（1）求角的值；
（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.
20．（12分）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
已知，且　　（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂的项的系数之和
21．（12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2

（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求点C到平面BEF的距离
22．（10分）已知集合，，
.
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得
【详解】由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.
故选：C
2、C
【解析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.
【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.
3、B
【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.
【详解】由题意，圆的方程可化为，
所以半径为，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
4、A
【解析】,所以函数在上递增，在上递减，所以函数的最大值为时，y==
故选A
点睛：研究函数最值主要根据导数研究函数的单调性，找到最值，分式求导公式要记熟
5、C
【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】将圆C的方程化为标准方程得，
所以．因为圆C上有到的距离为1的点，
所以圆C与圆：有公共点，所以
因为，所以，
解得，
故选：C
6、A
【解析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
由斜率公式，可得，即，
因为，所以，即此直线的倾斜角为.
故选：A.
7、A
【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.
【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.

故选：A
8、C
【解析】由题设易知是公比为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式求，结合各选项的描述及等比数列通项公式、前n项和公式判断正误即可.
【详解】从上往下记每层塔所挂灯的盏数为，则数列是公比为2的等比数列，且，解得，
所以顶层塔共挂了2盏灯，B正确；底层塔共挂了盏灯，A正确
最上面3层塔所挂灯总盏数为14，最下面3层塔所挂灯的总盏数为224，C不正确，D正确
故选：C.
9、C
【解析】根据双曲线的定义可得：，结合双曲线的方程可得答案.
【详解】由双曲线可得
根据双曲线的定义可得：
故选：C
10、C
【解析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解
【详解】解：设该等比数列公比为q，
∵数列1，a，b，c，9是等比数列，
∴，，∴，
故，解得，
∴
故选：C
11、A
【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据等积法求出几何体内切球的半径，再计算内切球的表面积
【详解】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示：

设三棱锥内切球的半径为，则由等体积法得
，
解得，
所以该三棱锥内切球的表面积为

故选：A
【点睛】本题考查了由三视图求三棱锥内切球表面积的应用问题，属于中档题
12、C
【解析】命题p为真时：；命题q为真时：，因为p且为真命题，所以命题p为真，命题q为假，即，选C
考点：命题真假

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用圆锥的结构特征及侧面积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l,
又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为，
∴，
∴.
故答案为：.
14、
【解析】设球的半径为，则球的大圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求出，再由球的表面积公式即可求解.
【详解】设球的半径为，则球的大圆的半径为，
所以球的大圆的面积为，可得，
所以该球的表面积为.
故答案为：.
15、
【解析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥，
所以该几何体的体积为.
故答案为：

16、 ①. ②.
【解析】因为底面是菱形,可得,则异面直线与所成的角和与所成的角相等,即可求得异面直线与所成的角的余弦值.在底面从点向作垂线 ,求证垂直平面,即可求得答案.
【详解】根据题意画出其立体图形:如图

底面是菱形,

则异面直线与所成的角和直线与所成的角相等
平面,平面

又,底面是菱形

即
故:异面直线与所成的角的余弦值为:
在底面从点向作垂线
平面,平面

,
平面
故是到平面的距离

故答案为:,.
【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）8（2）454
（3）证明见详解
【解析】（1）n元集合的直接个数为可得；
（2）由已知结合可得，或，然后可得集合的包含关系可解；
（3）根据每两个相同整数之间的整数个数之和与总的数字个数之间的关系可证.
【小问1详解】
当时，集合的子集个数为
【小问2详解】
易知，又，
所以，即，
得，或，所以或
1）若，则满足条件的集合对共有
，
2）若，同理，满足条件集合对共有243
3）当A=B时，满足条件的集合对共有
所以，满足条件集合对共243+243-32=454个.
【小问3详解】
记，则1，1，2，2，··，，共2n个正整数，
将这2n个正整数按照要求排列时，需在1和1中间放入1个数，在2和2中间放入2个数，…，在n和n中间放入n个数，共放入了个数，由于排列完成后共有2n个数，且1，1，2，2，··，，刚好放完，所以放入数字个数必为偶数，即Z，所以，Z，所以是4的倍数
18、（1）详见解析；
（2）详见解析.
【解析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有的男学生和的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算的值，再与临界值表对照下结论；
（2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【小问1详解】
解：因为初一共有700名学生其中男生400名、女生300名，且有的男学生和的女学生，
所以愿意参加体育类活动的男生有300名，女生有200名，
则列联表如下：
愿意参加体育活动情况
性别
愿意参加体育类活动
不愿意参加体育类活动
合计
男学生
300
100
400
女学生
200
100
300
合计
500
200
700
，
所以有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关；
【小问2详解】
这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名学生进行展示，
抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，
所以，
,
所以随机变量X分布列如下：
X
0
1
2
3
p

19、（1）
（2）6
【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换公可得，从而可求出角的值，
（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式可得的最大值为4，从而可求出三角形周长的最大值
【小问1详解】
由，得 ，
由正弦定理，得，
即.
在中，由，得.
又，所以.
【小问2详解】
根据题意，得，
由余弦定理，得，
即，
整理得，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为
所以.
所以的周长的最大值为 .
20、（1）选①②③，答案均为；
（2）66
【解析】（1）选①时，利用二项式定理求得的通项公式为，从而得到，求出n的值；选②时，利用二项式系数和的公式求出，解出n的值；选③时，利用赋值法求解，，从而求出n的值；（2）在第一问求出的的前提下进行赋值法求解.
【小问1详解】
选①，
其中，而的通项公式为，当时，，所以，解得：；
选②，
由于，所以，解得：；
选③，
令中得：，再令得：，解得：；
【小问2详解】
由（1）知：n=7，所以，
令得：，
令得：，
两式相减得：，所以，故展开式中的奇数次幂的项的系数和为66.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面BEF的法向量，然后证明线面平行；
（2）算出在向量方向上的投影，进而求得答案.
【小问1详解】
因为DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因为ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，

所以，，设平面BEF的法向量，因为，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，则＝(1，1，2)，又因为＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.
【小问2详解】
设点C到平面BEF的距离为d，而，所以，所以点C到平面BEF的距离为
22、 (1).
(2).
【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.
详解：
(1),
.
则
(2)，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且.
由，得，解得.
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是.
点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.