湖北省荆州市沙市区沙市中学2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题含解析.doc

湖北省荆州市沙市区沙市中学2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：：I(t) = ert（其中r为指数增长率）描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，指数增长率r的值约为（）（参考数值：ln2»0.69）
A.0.345 B.0.23
C.0.69 D.0.831
2．已知函数，则下列判断正确的是
A.函数是奇函数，且在R上是增函数
B.函数偶函数，且在R上是增函数
C.函数是奇函数，且在R上是减函数
D.函数是偶函数，且在R上是减函数
3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)解析式可以是(　　)
A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝ex
C.f(x)＝ D.f(x)＝ln(x＋1)
4．下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A. B.
C. D.
6．设函数，若是奇函数，则的值是（）
A.2 B.
C.4 D.
7．函数的定义域是（）
A. B.
C D.
8．已知,，则（ ）
A. B.
C. D.
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是
A. B.
C. D.
10．命题：“，”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设则__________.
12．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）
13．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________
14．设函数，且；
（1）若，求的最小值；
（2）若在上能成立，求实数的取值范围
15．已知的定义域为，那么a的取值范围为_________
16．_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．集合A＝{x|}，B＝{x|}；
（1）用区间表示集合A；
（2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B；
（3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围.
18．求解下列问题
（1）化简（其中各字母均为正数）：；
（2）化简并求值：
19．设矩形的周长为，其中，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，.

（1）将表示成的函数，并求定义域；
（2）求面积的最大值.
20．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求的值.
21．设，函数在上单调递减.
（1）求；
（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为,由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则，解出即可得出答案.
【详解】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为
由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则
所以，即
所以
故选：A
2、A
【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
3、C
【解析】根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减
对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；
对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；
对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；
对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.
4、B
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A、B、C选项中各函数的奇偶性，利用特殊值法可判断D选项中函数的奇偶性.
【详解】对于A选项，令，该函数的定义域为，
，所以，函数为奇函数；
对于B选项，令，该函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数；
对于C选项，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数；
对于D选项，令，则，，且，
所以，函数为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
5、B
【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，
所以

即：
，
化简得：
故选
6、D
【解析】根据为奇函数，可求得，代入可得答案.
【详解】若是奇函数，则，
所以，，
.
故选：D.
7、B
【解析】解不等式组即可得定义域.
【详解】由得：
所以函数的定义域是.
故选：B
8、C
【解析】求出集合，，直接进行交集运算即可.
【详解】，，

故选：C
【点睛】本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题.
9、D
【解析】选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意
【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；
选项B，y＝x3为奇函数，故错误；
选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题
10、C
【解析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.
【详解】命题：“，”是全称命题，
它的否定是特称命题：，，
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求，再求的值.
【详解】由分段函数可知，
.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.
12、③④
【解析】根据新定义进行判断.
【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数.③④是H函数.
③是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
是H函数.
④是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
H函数.
故答案为：③④
13、
【解析】将题意等价于的值域包含，讨论和结合化简即可.
【详解】解：要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】一元二次不等式常考题型：
（1）一元二次不等式在上恒成立问题：解决此类问题常利用一元二次不等式在上恒成立的条件，注意如果不等式恒成立，不要忽略时的情况.
（2）在给定区间上的恒成立问题求解方法：
若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
14、（1）3（2）或
【解析】（1）由可得，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得；
（2）将已知转化为不等式有解，再对参数分类讨论，分别计算可得.
【小问1详解】
函数，由，可得，
所以，
当时等号成立，又，，，解得时等号成立，
所以的最小值是3.
【小问2详解】
由题知，在上能成立，即能成立，
即不等式有解
①当时，不等式的解集为，满足题意；
②当时，二次函数开口向下，必存在解，满足题意；
③当时，需，解得或
综上，实数的取值范围是或
15、
【解析】根据题意可知，的解集为，由即可求出
【详解】依题可知，的解集为，所以，解得
故答案为：
16、
【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解
【详解】解：，
故答案为
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3），.
【解析】（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围
【详解】解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3
∴A＝(-∞, -2]∪(3, +∞)
（2）t＞2，
当且仅当t＝5时取等号，故
即为：且a＞0
∴，解得
故B＝{x| }
（3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而
可得：
a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去
a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去
a＜0时，解得或
∵A⊆B
∴，解得
∴a、b 的取值范围是a∈，b∈ (- 4,0).
【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
18、（1）
（2）
【解析】（1）结合指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
【小问1详解】
原式

【小问2详解】
原式

19、（1），；（2）
【解析】（1）由题意得，则，根据，可得，所以，化简整理，即可求得y与x的关系，根据，即可求得x的范围，即可得答案；
（2）由（1）可得，，则的面积，根据x的范围，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得：，则，
因为在和中，，
所以，即，
所以在中，，
所以，
化简可得，
因为，所以，解得，
所以，；
（2）由（1）可得，，
所以面积，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时面积，
即面积最大值为
【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）由奇函数定义求；
（2）代入后结合对数恒等式计算．
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以恒成立，
可得.
（2）由（1）可得.
所以.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题．
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）分析得到关于的不等式，解不等式即得解；
（2）等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点，再对分类讨论得解.
【小问1详解】
解：因为，在上单调递减，
所以，解得.
又，且，
解得.
综上，.
【小问2详解】
解：由（1）知，所以.
由于函数在区间上有且只有一个零点，等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点.
①当即时，函数单调递增，，于是有，
解得；
②当即时，函数先增后减有最大值，
于是有即，解得.
故k的取值范围为.