2025年河北省承德县第一中学数学高一第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025年河北省承德县第一中学数学高一第一学期期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．在下列区间中函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
3．已知α为第二象限角，，则cos2α=（　　）
A. B.
C. D.
4．下列每组函数是同一函数的是（）
A. B.
C. D.
5．函数的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
6．设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
7．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为
A.0.1 B.0.01
C.0.001 D.0.0001
8．，，这三个数之间的大小顺序是（）
A. B.
C. D.
9．已知，，且，均为锐角，那么（ ）
A. B.或－1
C.1 D.
10．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（　　）
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若使得，且的最小值为，则_________.
12．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_________
13．已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.
14．函数在______单调递增（填写一个满足条件的区间）
15．函数的值域为_______________.
16．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在三棱锥中，，，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.

（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.
18．已知函数为偶函数.
（1）判断在上的单调性并证明；
（2）求函数在上的最小值.
19．设函数，其中.
（1）求函数的值域；
（2）若，讨论在区间上的单调性；
（3）若在区间上为增函数，求的最大值.
20．已知函数.
（1）用五点法作函数在区间上的图象；
（2）解关于的方程.
21．如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，，分别为棱的中点

（1）求证：；
（2）若求三棱锥的体积
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由增函数的性质及定义域得对数不等式组，再对数函数性质可求解
【详解】不等式即为，∵函数在区间上单调递增，
∴，即，解得，∴实数的取值范围是，选A
【点睛】本题考查函数的单调性应用，考查解函数不等式，解题时除用函数的单调性得出不等关系外，一定要注意函数的定义域的约束，否则易出错
2、A
【解析】根据解析式判断函数单调性，再结合零点存在定理，即可判断零点所处区间.
【详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，至多一个零点，
又，故的零点所在的区间为.
故选：A.
3、A
【解析】，故选A.
4、C
【解析】依次判断每组函数的定义域和对应法则是否相同，可得选项.
【详解】A．的定义域为，的定义城为，定义域不同，故A错误；
B．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误；
C．与的定义域都为，，对应法则相同，故C正确；
D．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故D错误；
故选：C
【点睛】易错点睛：本题考查判断两个函数是否是同一函数，判断时，注意考虑函数的定义域和对应法则是否完全相同，属于基础题.
5、D
【解析】函数的图像的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，所得图像的解析式为，再向右平移3个单位长度，所得图像的解析式为，选D.
6、B
【解析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
7、B
【解析】令，则用计算器作出的对应值表：

由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B.
8、C
【解析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可
【详解】解：因为在上为减函数，且，
所以，
因为在上为增函数，且，
所以，
因为在上为增函数，且，
所以，
综上，，
故选：C
9、A
【解析】首先确定角，接着求，，最后根据展开求值即可.
【详解】因为，均为锐角，所以，
所以，，
所以
.
故选：A.
【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好
10、D
【解析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可
【详解】
由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，
作出函数f（x）和，x＞0的图象，
由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点
所以函数f（x）的““黄金点对“有3对
故选D
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据三角函数的图形变换，求得，根据，不妨设，求得，，得到
则，根据题意得到，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
又由，不妨设，
由，解得，即，
又由，解得，
即
则，
因为的最小值为，可得，解得或，
因为，所以.
故答案为：
12、
【解析】反比例函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则，还要满足在上单调递增，故求出结果
【详解】函数
根据反比例函数的性质可得：在区间上单调递减
要使函数在区间上单调递减，则
函数在上单调递增
则，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数单调性的性质，需要注意反比例函数在每个象限内是单调递减的，而在定义域内不是单调递减的
13、
【解析】根据扇形面积公式可求得答案.
【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.
故答案.
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
14、（答案不唯一）
【解析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性的求法求解
详解】由，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，
故答案为：（答案不唯一）
15、
【解析】先求出，再结合二次函数的内容求解.
【详解】由得，，
故当时，有最小值，当时，有最大值.
故答案为：.
16、##
【解析】由题意，根据必要不充分条件可得⫋，从而建立不等关系即可求解.
【详解】解：不等式的解集为，不等式的解集为，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以⫋，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）利用勾股定理得出线线垂直，结合等边三角形的特点，再次利用勾股定理得出线线垂直，进而得出线面垂直；
（2）根据线面垂直面，得出线和面的夹角，从而得出线面角的正弦值.
【详解】（1）由，有，从而有，
且
又是边长等于的等边三角形，
.
又，从而有
又平面.
（2）过点作交于点，连.
由（1）知平面，得，又平面

是直线与平面所成的角.
由（1），从而为线段的中点，
，
，

所以直线与平面所成的角的正弦值为
18、（1）在上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】（1）先利用函数的奇偶性求得，然后利用单调性的定义证得，从而证得在上递增.
（2）利用换元法化简，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得在上的最小值.
【小问1详解】
为偶函数，，
即，
，则.
所以.
在为增函数,证明如下：
任取，，且，

，
，，，
.
即，在上单调递增.
【小问2详解】
，
令，结合题意及（1）的结论可知.
，
.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上，.
19、（1）
（2）在区间上单调递增，在上单调递减
（3）
【解析】（1）首先化简函数，再求函数的值域；
（2）利用代入法，求的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；
（3）由（1）可知，，首先求的范围，再根据函数的单调区间，求的最大值.
【小问1详解】

，
所以函数的值域是；
【小问2详解】
时，，
当，，
当，即时，函数单调递增，
当，即时，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；
【小问3详解】
若，则，
若函数在区间上为增函数，
则，解得：，
所以的最大值是.
20、（1）画图见解析；（2）或.
【解析】（1）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在的大致图像即可；
（2）由题意得：，解得或，，分类求解即可得解方程的解集.
【详解】（1），
∴，，的变化如下表：

0

2
0

0

的图象如图：

（2）令，则，或，，
或，，
的解集为：或.
【点睛】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取，，，，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
21、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）可证平面，从而得到.
（2）取的中点为，连接，可证平面，故可求三棱锥的体积
【详解】（1）因为侧棱⊥底面，平面，所以，
因为为中点，，故，而，
故平面，而平面，故.
（2）取的中点为，连接.
因为，故，故，
因为，故，且，故，
因为三棱柱中，侧棱⊥底面，
故三棱柱为直棱柱，故⊥底面，
因为底面，故，而，
故平面，
而，
故.

【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.