河南省汝州市实验中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

河南省汝州市实验中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
2．若、且，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A.1 B.
C.1或 D.
4．过点且垂直于直线的直线方程是（）
A. B.
C. D.
5．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
6．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）
A类轮胎：94，96，99，99，105，107
B类轮胎：95，95，98，99，104，109
根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
7．设实数x，y满足，则目标函数的最大值是（）
A. B.
C.16 D.32
8．已知随圆与双曲线相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心，分别为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知实数满足方程，则的最大值为（）
A.3 B.2
C. D.
10．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（ ）

A.10 B.20
C.30 D.40
11．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（）
A. B.
C. D.
12．已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A.5 B.8
C. D.7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若抛物线经过点，则__________.
14．已知，分别是椭圆和双曲线的离心率，，是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，则的最大值为______
15．写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________
16．若过点和的直线与直线平行，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）
18．（12分）已知等比数列的公比为，前项和为，，，
（1）求
（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式
19．（12分）已知p：关于x的方程至多有一个实数解，.
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
20．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件：①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线处，使问题完善，并解答你构造的问题.（如果选择多个关系并分别解答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）.
问题：已知命题，，命题___________，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
21．（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
（2）已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
22．（10分）已知集合，，
.
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出
【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为
故选：B
2、B
【解析】构造函数，利用函数在上的单调性可判断AB选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
因为、且，则，即，A错B对；
对于CD选项，构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上不单调，无法确定与的大小关系，故CD都错.
故选：B.
3、A
【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A
4、A
【解析】根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.
【详解】因为所求直线垂直于直线，
所以设其方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得
所以直线方程为：，
故选：A.
5、B
【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假
【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假
6、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.
【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；
对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误
对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误
对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确
故选：D.
7、C
【解析】求的最大值即求的最大值，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得的最大值，最后求出的最大值.
【详解】要求的最大值即求的最大值.
根据实数，满足的条件作出可行域，如图.
将目标函数化为.
则表示直线在轴上的截距的相反数.
要求的最大值，即求直线在轴上的截距最小值.
如图当直线过点时，在轴上的截距最小值.
由，解得
所以的最大值为，则的最大值为16.
故选：C.

8、B
【解析】设公共焦点为，推导出，可得出，进而可求得、的值.
【详解】设公共焦点为，则，则，
即，故，
即，，
故选：B
9、D
【解析】将方程化为，由圆的几何性质可得答案.
【详解】将方程变形为，则圆心坐标为，半径，
则圆上的点的横坐标的范围为：
则x的最大值是
故选：D.
10、B
【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以颈部高为，
故选：B
11、C
【解析】依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；
【详解】解：依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，
故选：C
12、C
【解析】根据斜率的公式直接求解即可.
【详解】由题可知,,解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】将点代入抛物线方程即可得出答案.
【详解】解：因为抛物线经过点，所以，即.
故答案为：2.
14、
【解析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到的关系，然后利用三角换元求最值即可.
【详解】解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，半焦距为c，设，，，因为，所以由余弦定理可得，①
在椭圆中，，①化简为，即，②
在双曲线中，，①化简为，即，③
联立②③得，，即，
记，，，则，当且仅当，即，时取等号
故答案为：.
15、（答案不唯一）
【解析】根据椭圆的标准方程，以及分析即可
【详解】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取
故答案为：（答案不唯一）
16、
【解析】根据两直线的位置关系求解.
【详解】因为过点和的直线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，由可得；由可得；
此时在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，函数的单调递增区间为，
当时，单调递减区间为，单调递增区间为，
（Ⅱ）若，由可得，
因为，所以，
所以
所以对于恒成立，
令，则，
，
令，则对于恒成立，
所以在单调递增，
因为，，
所以在上存在唯一零点，
即，可得：，
当时，，则，
当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
18、（1），；（2），
【解析】（1）设出等比数列的首项和公比，根据已知条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则通项公式可求；
（2）根据题意表示出斜率关系，然后采用累加法求解出的通项公式.
【详解】（1）因为等比数列的公比为，，，
由已知，，得，
解得或（舍），
所以，
，
由得，所以
所以，
（2）由直线的斜率为，得，即，
由，，，，，
可得，
所以，
当时也满足，
所以，
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据命题p为真命题，可得，解之即可得解；
（2）若p是q的充分不必要条件，则，列出不等式组，解之即可得出答案.
【小问1详解】
解：命题p：关于x的方程至多有一个实数解，
∴，
解得，
∴实数a的取值范围是；
【小问2详解】
解：命题，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，
∴，且两式等号不能同时取得，
解得，
∴实数m的取值范围是.
20、
【解析】分别在、和的情况下得命题对应的集合；选条件后可求得命题对应的集合；根据充分不必要条件的定义可知，分别在、和的情况下得到结果.
【详解】由得：，
当时，不等式解集；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
是的充分不必要条件，
命题对应集合是命题对应集合的真子集，即；
若选条件①：由得：，；
若选条件②：由得：，解得：，；
若选条件③：由得：，解得：，；
当时，，符合题意；
当时，由知：，；
当时，由知：，；
综上所述：，即实数的取值范围为.
21、（1），曲线是以为焦点的椭圆；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，即求；
（2）利用斜率公式及椭圆方程计算即得.
【小问1详解】
设点坐标为，根据题意，得
，
左右同时平方，得，
整理得，，即，
所以曲线的方程是，
曲线是以为焦点的椭圆.
【小问2详解】
由题意得，设的坐标是，
因为点在曲线上，所以，
因为，
所以，
所以为定值.
22、 (1).
(2).
【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.
详解：
(1),
.
则
(2)，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且.
由，得，解得.
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是.
点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.