高斯投影正反算公式-新.doc

高斯投影坐标正反算
一、相关概念
大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：
1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=6356752.3142451m；
2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=6356755.2881575m;
3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴a=6378245m, 短半轴b=6356863.018773m;
通常所说的高斯投影有三种，即投影后：
a) 角度不变（正角投影），投影后经线和纬线仍然垂直；
b) 长度不变；
c) 面积不变；
大地坐标一般采用高斯正角投影，即在地球球心放一点光源，地图投影到过与中央经线相切的椭圆柱面上而成；可分带投影，按中央经线经度值分带，有每6度一带或每3度一带两种(起始带中央经线经度为均为3度，即：6度带1带位置0-6度，3度带1带位置1.5-4.5 度)，即所谓的高斯-克吕格投影。

图表 11高斯投影和分带
地球某点经度（L）为过该点和地球自转轴的半圆与子午线所在半圆夹角，东半球为东经，西半球为西经；地球某点纬度（B）为所在水平面法线与赤道圆面的线面角。
正算是已知大地坐标（L，B），求解高斯平面坐标（X，Y）,为确保Y值为正，Y增加500公里；反算则是由高斯平面坐标（X，Y）求解大地坐标（L，B）。
二、计算模型：
地球椭球面由椭圆绕地球自转轴旋转180度而成。

图表 1 椭圆
椭圆长半轴，椭圆短半轴b, 椭圆方程：
(1)

图表 2椭球面
椭球面方程：

/***************************************
与网上充斥的将函数关系先展开为泰勒级数，再依据投影规则确定各参数不同，本文直接依据空间立体三角函数关系得出结果。*****/
（一）正算
由图表1，
由方程式(1),
令，可得

在图表2中，，则

由椭圆方程，令

可知：

正算依据公式(4)、(5)、(6)、(7)得到结果，其中
a:地球椭球长半轴；
b:地球椭球短半轴；
B:该点纬度；
L:该点经度减去中央经线L0后的值；
X:大地x坐标值；
Y: 大地y坐标值。
（6）式积分按积分原理由计算机求积分。
（二）反算

由式（4）可得，

三、程序代码函数：
/************高斯投影正算函数***************
输入 : double a ,double b，(m_B,m_L)为大地坐标, L0为带号（6度带），(x,y)为高斯平面坐标,y加上了500000常量
返回：none
******************************************/
void gaosiforward(double a,double b,double m_B,double m_L,double L0,double &x,double &y)
{
double B=m_B*3.14159265/180;//换算成弧度
double L=(m_L-6.0*L0+3.0)*3.14159265/180; //换算成弧度
double xita=atan(b*b*tan(B)/a/a/cos(L));
double dxita=0.000001;
double xi=dxita;
x=0.0;
double c=a*a/b/b;
while(xi<xita)
{
x+=dxita/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));
xi+=dxita;
}
x*=a;
y=a*cos(xita)*tan(L)/sqrt(c*sin(xita)*sin(xita)+cos(xita)*cos(xita));
y+=500000.0;
}

/**************高斯反算函数***************
输入 : double a ,double b，(B,L)为大地坐标, L0为带号（6度带），(x,y)为高斯平面坐标,y加上了500000常量
*返回：none
*****************************/
void gaosibackward(double a,double b,double x,double y,double L0,double &B,double &L)
{
double dxi=0.000001;
double xi=dxi;
double X=0.0;
double c= a* a/ b/b;
while(X< x/ a)
{
X+=dxi/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));
xi+=dxi;
}
double r= a/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));
double Y=y-500000.0;

L=atan(Y/r/cos(xi));
L=L*180/3.14159265-3.0+6.0*L0;

B=atan(m_a*m_a*tan(xi)*cos(L)/m_b/m_b);
B=B*180/3.14159265;
}