山东省临沂市第十九中学2025-2026学年高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

山东省临沂市第十九中学2025-2026学年高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则
A. B.
C.1 D.
2．函数在区间上的简图是（ ）
A. B.
C. D.
3．若角满足，，则角所在的象限是（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4．函数的定义域是（）
A. B.
C. D.
5．sin210°·cos120°的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么( 　)
A.M＝N B.N⊆M
C.M⊆N D.M∩N＝∅
7．当时，函数（，），取得最小值，则关于函数，下列说法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线对称
D.是偶函数且图象关于直线对称
8．设，，则正实数，的大小关系为
A. B.
C. D.
9．已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
10．设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.

如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心为原点，过点的水平直线为轴建立如图直角坐标系.已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：s），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数），则关于的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为___________s.
13．茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是______

14．设函数，则下列结论
①的图象关于直线对称
②的图象关于点对称
③的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
④的最小正周期为，且在上为增函数
其中正确的序号为________.（填上所有正确结论的序号）
15．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
16．已知角的终边经过点，且，则t的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且最小正周期为.
（1）求的单调增区间；
（2）若关于的方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围.
18．已知向量
（1）当时,求的值；（2）若为锐角,求的范围.
19．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中
①求的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值
20．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求
(1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)
21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由题意，故选C
2、B
【解析】分别取，代入函数中得到值，对比图象即可利用排除法得到答案.
【详解】当时，，排除A、D；
当时，，排除C.
故选：B.
3、C
【解析】根据，，分别确定的范围，综合即得解.
【详解】解：由知，是一、三象限角，
由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，
故是第三象限角
故选：C
4、A
【解析】利用对数函数的真数大于零,即可求解.
【详解】由函数，则，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，需熟记对数的真数大于零，属于基础题.
5、A
【解析】直接诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.
【详解】,
故选：A.
6、C
【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得
【详解】由题意可
即为的奇数倍构成的集合，
又，即为的整数倍构成的集合，，
故选C
【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题
7、C
【解析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为当时，函数取得最小值，
所以，因为，
所以令，即，所以，
设，
因为，
所以函数是奇函数，因此选项B、D不正确；
因为，，
所以，因此函数关于直线对称，因此选项A不正确，
故选：C
8、A
【解析】由，知，，又根据幂函数的单调性知，，故选A
9、D
【解析】令得，
作出和在上的函数图象如图所示，
由图像可知和在上有个交点，
∴在上有个零点，
∵，均是偶函数，
∴在定义域上共有个零点，
故选

点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
10、A
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，求函数的值域，即可得出结果.
【详解】画出函数的大致图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.，
，，
则.
令，，而函数在单调递增，
所以，则.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解
【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，
则需满足，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：
12、 ①. ②.10
【解析】根据给定信息，求出以Ox为始边，OP为终边的角，求出点P的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.
【详解】依题意，点到x轴距离为0.8m，而，则，
从点经s运动到点所转过的角为，因此，以Ox为始边，OP为终边的角为，
点P的纵坐标为，于是得点距离水面的高度，
由得：，而，即，解得，
对于k的每个取值，，
所以关于的函数关系式为，水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为10s.
故答案为：；10
【点睛】关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.
13、
【解析】分别计算出甲，乙的平均分，从而可比较a，b的大小关系.
【详解】易知甲的平均分为，
乙的平均分为，所以.
故答案为：.
14、③
【解析】利用正弦型函数的对称性判断①②的正误，利用平移变换判断③的正误，利用周期性与单调性判断④的正误.
【详解】解：对于①，因为f（）＝sinπ＝0，所以不是对称轴，故①错；
对于②，因为f（）＝sin，所以点不是对称中心，故②错；
对于③，将把f（x）的图象向左平移个单位，得到的函数为
y＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝cos2x，所以得到一个偶函数的图象；
对于④，因为若x∈[0，]，则，所以f（x）在[0，]上不单调，故④错；
故正确的结论是③
故答案为③
【点睛】此题考查了正弦函数的对称性、三角函数平移的规律、整体角处理的方法，正弦函数的图象与性质是解本题的关键
三、
15、
【解析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
16、##0.5625
【解析】根据诱导公式得sin α＝－，再由任意角三角函数定义列方程求解即可.
【详解】因为，所以sin α＝－.
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sin α＝＝－，
故，且
解得t＝（或舍）
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件求得，再用整体法求函数单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求函数单调性，结合函数的值域，即可求得参数的值.
【小问1详解】
因为函数最小正周期为，故可得，解得，
则，
令，解得.
故的单调增区间是：.
【小问2详解】
因为，由（1）可知，在单调递增，在单调递减，
又，，，
故方程在上有且只有一个解，只需.
故实数的取值范围为.
18、（1）x或x＝﹣2；（2）x＞﹣2且x
【解析】（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得•0且，不同向，
列出不等式，即可求出结果
【详解】（1）2（1+2x，4），2（2﹣x，3），（2）⊥（2），
可得（2x+1）（2﹣x）+3×4＝0
即﹣2x2+3x+14＝0.
解得：x或x＝﹣2
（2）若，为锐角，则•0且，不同向
•x+2＞0，∴x＞﹣2，当x时，，同向
∴x＞﹣2且x
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19、（1），（2）①（），②28毫克/立方米
【解析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可
（2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，
则当时，由，得，所以，
当时，由，得，，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时，
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为
（毫克/立方米），
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为
（），
②（），

，当且仅当，即时取等号，
所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米
【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题
20、（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}
【解析】（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)
试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}
(2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}；
故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}
21、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.
【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.
（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.
【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为
3-6+×70+2=43.5(万元).
（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，
依题意得解得40≤x≤80.
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=，则t∈[2，4]，
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.