天津市滨海新区天津开发区第一中学2025-2026学年高二上数学期末调研模拟试题含解析.doc

天津市滨海新区天津开发区第一中学2025-2026学年高二上数学期末调研模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数，满足且，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A.60 B.80
C.90 D.100
3．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，则a2021+b2020=（）
A.-1 B.0
C.1 D.2
4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
5．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
6．设双曲线C： 的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A B.2
C. D.
7．对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．已知双曲线，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．已知直线与直线垂直，则实数（）
A.10 B.
C.5 D.
10．当实数，m变化时，的最大值是（）
A.3 B.4
C.5 D.6
11．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
12．设函数，则（）
A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.
14．已知双曲线：，斜率为的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为，则E的离心率为___________

15．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）
16．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，计算得，，，
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额．附：线性回归方程系数公式
中，，，其中，为样本平均值
18．（12分）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围
19．（12分）已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值
20．（12分）男子10米气步枪比赛规则如下：在资格赛中，射手在距离靶子10米处，采用立姿，在105分钟内射击60发子弹，总环数排名前8名的射手进入决赛；在决赛中，每位射手仅射击10发子弹．已知甲乙两名运动员均进入了决赛，资格赛中的环数情况整理得下表：
环数
频数
6
7
8
9
10
甲
2
3
5
23
27
乙
5
5
0
25
25
以各人这60发子弹环数的频率作为决赛中各发子弹环数发生的概率，甲乙两人射击互不影响
（1）求甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；
（2）决赛打完第9发子弹后，甲比乙落后2环，求最终甲能战胜乙（甲环数大于乙环数）的概率
21．（12分）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值
22．（10分）命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.
【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
2、D
【解析】由题设条件求出，从而可求.
【详解】设公差为，
因为，，故，解得，
故，
故选：D.
3、A
【解析】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求得和ab=1两种情况下，a，b的取值，分析讨论，即可得答案.
【详解】因为A=B，
若，解得，
当时，不满足互异性，舍去，
当时，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因为A=B，
所以，解得，
所以；
若ab=1，则，
所以，
若，解得或1，都不满足题意，舍去，
若，解得，不满足互异性，舍去，
故选：A
【点睛】本题考查两集合相等的概念，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验是否满足互异性、题设条件等，属基础题.
4、B
【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：B
5、C
【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.
【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，
分别于联立，解得：，，
所以中点坐标为，
因为点满足，
所以，
所以，即，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
6、A
【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.
【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，

因为O为的中点，所以,
而,则，
为等腰三角形，故，
由，得，
又为等腰直角三角形，故，
即 ，解得 ，即，
故选：A.
7、D
【解析】判断不等式的真假，就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.
【详解】若，令，，，，，故A错误；
若，令c=0，则，故B错误；
若，令a=-1，b=-2，，，故C错误；
∵，故，根据不等式运算规则，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确.
故选：D.
8、D
【解析】由双曲线的方程及双曲线的离心率即可求解.
【详解】解：因为双曲线，所以，
所以双曲线的离心率，
故选：D.
9、B
【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，直线与直线垂直，
可得，解得.
故选：B.
10、D
【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.
【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，
设，
因直线，即表示恒过定点，

根据圆的性质可得.
故选：D.
11、B
【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析
【详解】对于A：，因此A不满足题意；
对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；
对于C：，故C不满足题意；
对于D：显然有，选项D不满足题意.
故选：B
12、D
【解析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.
【详解】,
故，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.
【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则

,
∴ ，当且仅当即三点共线时等号成立，
∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2，
故答案为：2.

14、
【解析】分别设线段的中点，线段的中点，再利用点差法可表示出，由平行关系易知三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入整理可得到关系，利用双曲线得到关于的齐次方程，进而求得离心率.
【详解】设，，线段的中点
，两式相减得：
…①
设，，线段的中点
同理可得：…②
，易知三点共线
，将①②代入得：，所以，即，由题意可得
，故 .∴，即

故答案为：
15、②③
【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件
故答案为：②③
16、
【解析】推导出，从而，结合，，，能求出的长
【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，
且
所以,
所以，
，

，
的长
故答案为
【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）＝0.3x－0.4
（2）正相关（3）1.7千元
【解析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；.
（2）由判断；
（3）将x＝7代入回归方程求解.
【小问1详解】
由题意知
n＝10，，
则，
所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.
【小问2详解】
因为，
所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.
【小问3详解】
将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
18、（1）的减区间为，增区间为
（2）
【解析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
，恒成立.
构造函数，，
，
构造函数，，
所以在上递增，，
所以在上成立，
所以，
所以，即的取值范围是.
19、 (1)详见解析(2) m为－时，截得的弦长最小，最小值为2
【解析】（1）将直线l变形，可知直线l过定点，证明定点在圆内部；（2）利用垂径定理和弦长公式可得.
【详解】(1)证明：直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0
令 解得,

如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)
而|AC|＝ ＝<3(半径)
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交
(2)解:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
此时kl·kAC＝－1，即,∴m＝－
最小值为
故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2
【点睛】考查直线过定点、点与圆的位置关系以及弦长问题，解题的关键是直线系形式的转化.
20、（1）
（2）
【解析】（1）先求出甲运动员打中10环的概率，从而可求出甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；
（2）由于甲比乙落后2环，所以甲要获胜，则乙6环，甲9环或10环，或者乙7环，甲10环，再利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【小问1详解】
由表中的数据可得甲运动员打中10环的概率为，
所以甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率为

【小问2详解】
因为甲比乙落后2环，
所以甲要获胜，则乙打中6环，甲打中9环或10环，或者乙打中7环，甲打中10环，
因为由题意可得乙打中6环的概率和打中7环的概率均为，
甲打中9环的概率为，打中10环的概率为，且甲乙两人射击互不影响
所以最终甲能战胜乙的概率为

21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，
又，所以，所以.
因为，所以，又，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
因为，，，所以两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线DE与平面所成角为，
则，
所以直线DE与平面所成角的正弦值为.

22、
【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可
【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；
②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，
∵p∨q为真，而p∧q为假，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，有，
∴﹣2＜a≤1；
当p假q真时，有，
∴a≥2
∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2
即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）
【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题