导数和微分教育课件.ppt

,微积分 第三章导数与微分,*,calculus,微 积 分,calculus,微 积 分,2015,年,1,月,江西财经大学信息管理学院,*,导数和微分PPT讲座,如果你月薪仅,2000,元，想在厦门买一套一百多平的房子和一辆奥迪,A6,，那么你不妨先给自己定个小目标，比如说我先活他个,250,年，然后向天再借,500,年。,古时候的打劫：“此山是我开，此树是我栽，要想从此过，留下买路财。”这语言是多么的粗鲁，经过上千年的文明洗礼，到了当今社会，语言变得多么文明贴心：“前方,500,米收费站，请减速慢行,”,我做错什么要来到这个学校？,你做错了题,2,做题的时候首先要想出题者的意图,他想让我死,“你们夫妻每月挣多少？”,“我月收入一万，加上我老婆，可以到两千。”,排队中，一妹子插队，一大姐怒了：你为什么插队！妹子说：因为我没素质。大姐于是大嘴巴子抽了她一耳光，妹子捂着脸说：你为什么抽我？！大姐回答说：因为我有病,3,大学的时候，刚进学校。学校让我们填一份自我简介，里面包括体育强项。同桌告诉我不要写那种运动会用的到的项目，不然以后运动会会强迫你参加。于是我们写的是高尔夫、网球、滑雪之类的，本想转过身去提醒后面玩的好的男生，结果一看他写的体育强项是双脚踩灯泡、胸口碎大石.,我妈挖了一勺西瓜没拿稳，掉地上了，她捡起来就要往我嘴里塞，看见我很诧异地看着她，突然反应过来笑着说：“不好意思啊，我还以为你还是小时候呢”！突然感觉胸口有点疼！,4,微积分 第三章导数与微分,5,3.1,导数,的概念,引例,1,、变速直线运动的瞬时速度,一、引例,微积分 第三章导数与微分,6,（,1,）当物体作匀速运动时,（,2,）当物体作变速运动时,微积分 第三章导数与微分,7,引例,2,平面曲线切线的斜率,在点,求曲线,L,：,处切线的斜率。,割线,MN,的斜率为：,微积分 第三章导数与微分,8,割线,MN,的极限位置,MT,称为曲线,L,在点,M,处的切线。,切线,MT,的斜率为,：,当,时，,微积分 第三章导数与微分,9,二、导数的定义,微积分 第三章导数与微分,10,微积分 第三章导数与微分,11,微积分 第三章导数与微分,12,微积分 第三章导数与微分,13,微积分 第三章导数与微分,14,微积分 第三章导数与微分,15,三、导数的几何意义,微积分 第三章导数与微分,16,四、单边（侧）导数,微积分 第三章导数与微分,17,微积分 第三章导数与微分,18,同样单边导数定义式也可简化为：,微积分 第三章导数与微分,19,例,.,求函数,在,处的导数,.,解,所以,函数,在,处不可导,.,思考,微积分 第三章导数与微分,20,五、可导性与连续性的关系,若函数,在,处可导,则必连续,.,事实上,因,在,处可导,定理,2.1,所以,函数,在,处连续,.,即,微积分 第三章导数与微分,21,例,.,求函数,在,处的导数,.,解,所以,函数,在,处不可导,.,0,问题：连续是否一定可导？,微积分 第三章导数与微分,22,微积分 第三章导数与微分,23,1,-1,微积分 第三章导数与微分,24,函数在其可导的点处一定连续,函数在其不连续的点处一定不可导,函数在其连续的点处不一定可导,结论,微积分 第三章导数与微分,25,六、用定义求导数,同样单边导数定义式也可简化为：,微积分 第三章导数与微分,26,例,1.,求函数,(,常数,),的导数,.,解,常数的导数等于零,例,2.,求函数,的导数,.,解,微积分 第三章导数与微分,27,例,3.,求指数函数,的导数,.,解,微积分 第三章导数与微分,28,例,4.,设,求,解,特别地,微积分 第三章导数与微分,29,例,5.,设,求,解,正弦函数的导数等于余弦函数,.,类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数,.,微积分 第三章导数与微分,30,注：分段函数分段点的导数必须用定义求,例,6.,设函数,解,因为,微积分 第三章导数与微分,31,例,7.,解,微积分 第三章导数与微分,32,方法一：,例,8.,解,微积分 第三章导数与微分,33,微积分 第三章导数与微分,34,方法二：,微积分 第三章导数与微分,35,微积分 第三章导数与微分,36,解,例,9.,微积分 第三章导数与微分,37,由导数的几何意义知,所求切线的斜率为,:,所求切线方程为,:,即,所求法线方程为,:,即,解,例,11.,微积分 第三章导数与微分,38,3.2,求导基本公式与求导运算法则,一、四则运算求导法则,微积分 第三章导数与微分,39,证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,(,C,为常数,),微积分 第三章导数与微分,40,微积分 第三章导数与微分,41,证毕,.,微积分 第三章导数与微分,42,例,1.,解,微积分 第三章导数与微分,43,解,:,例,2.,微积分 第三章导数与微分,44,求,解,例,3.,微积分 第三章导数与微分,45,例,4.,解,微积分 第三章导数与微分,46,解,例,5.,微积分 第三章导数与微分,47,常用公式：,微积分 第三章导数与微分,48,二、反函数的求导法则,微积分 第三章导数与微分,49,微积分 第三章导数与微分,50,解,例,5.,微积分 第三章导数与微分,51,解,例,6.,微积分 第三章导数与微分,52,三、基本导数的公式,微积分 第三章导数与微分,53,微积分 第三章导数与微分,54,微积分 第三章导数与微分,55,Guess,四、复合函数求导法则,微积分 第三章导数与微分,56,微积分 第三章导数与微分,57,微积分 第三章导数与微分,58,法则,5(,链法则,),外层函数,内层函数,微积分 第三章导数与微分,59,证,在点,可导，,由,知,由极限与无穷小关系知,于是,微积分 第三章导数与微分,60,即,微积分 第三章导数与微分,61,解,.,例,1,求下列函数的导数,微积分 第三章导数与微分,62,更简明的过程,微积分 第三章导数与微分,63,解,例,2.,更简明的过程,微积分 第三章导数与微分,64,解,例,3.,微积分 第三章导数与微分,65,例,4.,解,例如,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形,.,微积分 第三章导数与微分,67,例,.,求,解,微积分 第三章导数与微分,68,更简明的过程,微积分 第三章导数与微分,69,例,求,解,微积分 第三章导数与微分,70,例,求,解,微积分 第三章导数与微分,71,例,8,解,微积分 第三章导数与微分,72,形如，,的函数称为,显函数,.,若,与,的函数关系由方程,所确定,称这类函数为,隐函数,.,二、隐函数求导法,微积分 第三章导数与微分,73,解,例,9,微积分 第三章导数与微分,74,解,例,10,微积分 第三章导数与微分,75,解,例,11,微积分 第三章导数与微分,76,三、对数求导法,两类函数,有简便求,微积分 第三章导数与微分,77,例,13,求,的导数,.,解,两边取对数,化为隐函数,两边对,x,求导,1),对幂指函数,可用对数求导法求导,:,说明,:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,微积分 第三章导数与微分,79,解法,2,将函数化为复合函数,微积分 第三章导数与微分,80,对,x,求导,两边取对数,例,12,有些显函数用对数求导法求导很方便,.,例,13,两边取对数,两边对,x,求导,微积分 第三章导数与微分,82,微积分 第三章导数与微分,83,例,15,解,两边取对数,对,x,求导,微积分 第三章导数与微分,84,微积分 第三章导数与微分,85,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,3.4,高阶导数,微积分 第三章导数与微分,86,记作：,或,即,二阶导数的导数，叫做,三阶导数,，,记作：,或,微积分 第三章导数与微分,87,三阶导数的导数，叫做,四阶导数,，,记作：,或,阶导数的导数，叫做,阶导数,，,记作：,或,函数,有,阶导数，,也说函数,为,阶可导,。,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,例,1,证明：函数,满足关系式,证明,所以,2015,年,1,月,江西财经大学信息管理学院,88,隐函数的二阶导数,例,2,若方程,确定,是,的函数,求,解,2015,年,1,月,江西财经大学信息管理学院,89,微积分 第三章导数与微分,90,隐函数的二阶导数,微积分 第三章导数与微分,91,微积分 第三章导数与微分,92,微积分 第三章导数与微分,93,几个初等函数的,阶导数,例,2,求,阶导数,的,解,2015,年,1,月,江西财经大学信息管理学院,94,微积分 第三章导数与微分,95,微积分 第三章导数与微分,96,微积分 第三章导数与微分,97,例,6,求,阶导数,的,解,函数可转化为,思考,2015,年,1,月,江西财经大学信息管理学院,98,微积分 第三章导数与微分,99,微积分 第三章导数与微分,100,由上面各阶导数可以得到,微积分 第三章导数与微分,101,二、高阶导数的运算法则,都有,n,阶导数,则,(,C,为常数,),莱布尼兹,(Leibniz),公式,及,设函数,微积分 第三章导数与微分,102,例,7.,求,解,:,设,则,代入莱布尼兹公式,得,微积分 第三章导数与微分,103,小结,高阶导数的求法,(1),逐阶求导法,(2),利用归纳法,(3),间接法,利用已知的高阶导数公式,如：,(4),利用莱布尼兹公式,104,练一练,2015,年,1,月,江西财经大学信息管理学院,105,解,答,106,107,微积分 第三章导数与微分,108,引例,.,一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由,变到,问此薄片的,面积改变了多少,?,面积的改变量：,一、微分的引进,3.5,微分,微积分 第三章导数与微分,109,微积分 第三章导数与微分,110,二、微分的定义,微积分 第三章导数与微分,111,证,(,必要性,),微积分 第三章导数与微分,112,(,充分性,),设函数,在点,处,可导,即,与,无关,是较,高阶的无穷小,.,所以函数,在点,处,可微,.,且,微积分 第三章导数与微分,113,说明,:,微积分 第三章导数与微分,114,注意：,微积分 第三章导数与微分,115,三、基本微分公式与微分法则,根据,可得基本初等函数的微分公式：,微积分 第三章导数与微分,116,微分法则,：,设,都可微，,则,微积分 第三章导数与微分,117,微分法则,：,设,都可微，,则,微积分 第三章导数与微分,118,复合函数的微分法则：,设,所以,即微分形式的不变性,微积分 第三章导数与微分,119,微积分 第三章导数与微分,120,微积分 第三章导数与微分,121,微积分 第三章导数与微分,122,微积分 第三章导数与微分,123,四、微分在近似计算中的应用,由微分定义知,当,时,因此,当,很小时,有,近似公式,:,(1),即,(2),(3),微积分 第三章导数与微分,124,解,:,设,取,则,的近似值,.,例,6,微积分 第三章导数与微分,125,微积分 第三章导数与微分,126,即在生产,100,单位产品的基础上再多生产一单位产品，成本会增加,2.96,微积分 第三章导数与微分,127,可证,当,很小时,有近似公式,:,当,很小时,(4),泰勒级数,为 在 处,的泰勒级数,.,(1),若,在,某邻域内有任意阶导数，则级数,在,(1),中,特别地,(2),称为函数,的,马克劳林级数,.,微积分 第三章导数与微分,129,微积分 第三章导数与微分,130,解,:,的近似值,.,例,.,计算,微积分 第三章导数与微分,131,3.6,边际与弹性,一、边际的概念,微积分 第三章导数与微分,132,微积分 第三章导数与微分,133,微积分 第三章导数与微分,134,微积分 第三章导数与微分,135,微积分 第三章导数与微分,136,微积分 第三章导数与微分,137,微积分 第三章导数与微分,138,二、弹性函数,1,、弹性的概念,弹性的意义：,微积分 第三章导数与微分,139,微积分 第三章导数与微分,140,幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数,微积分 第三章导数与微分,141,2,、弹性的经济应用,(1),需求价格弹性,注意,微积分 第三章导数与微分,142,微积分 第三章导数与微分,143,微积分 第三章导数与微分,144,(2),供给价格弹性,微积分 第三章导数与微分,145,(3),收益价格弹性,微积分 第三章导数与微分,146,必需品,奢侈品,微积分 第三章导数与微分,147,