利用导数求函数极值.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,利用导数研究函数的极值,高二数学,知识与技能目标,：,理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数极值的步骤；,过程与方法目标：,多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力；,情感、态度与价值观：,通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣,.,教学目标,教学重点,：,极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤,.,教学难点：,对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤,.,教学重难点,利用函数的导数来研究,函数,y,=,f,(,x,),的单调性这个问题,.,其基本的步骤为,:,求函数的定义域,;,求函数的导数,f,(,x,);,解不等式,f,(,x,)0,得,f,(,x,),的单调递增区间,;,解不等式,f,(,x,),f,(,x,1,).,(4),函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,.,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点,.,在上节课中,我们是利用函数的导数来研究,函数的单调性的,.,下面,我们,利用函数的导数来研究,函数的,极值问题,.,由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有,f,(,x,)=0.,但反过来不一定,.,如函数,y,=,x,3,在,x,=0,处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小,.,假设,x,0,使,f,(,x,)=0.,那么在什么情况下,x,0,是,f,(,x,),的极值点呢？,o,a,X,0,0,b,x,y,如上图所示,若,x,0,是,f,(,x,),的极大值点,则,x,0,两侧附近点的函数值必须小于,f,(,x,0,).,因此,x,0,的左侧附近,f,(,x,),只能是增函数,即,f,(,x,)0;,x,0,的右侧附近,f,(,x,),只能是减函数,即,f,(,x,)0.,o,a,X,0,b,x,y,同理,如上图所示,若,x,0,是,f,(,x,),极小值点,则在,x,0,的左侧附近,f,(,x,),只能是减函数,即,f,(,x,)0.,从而我们得出结论,:,若,x,0,满足,f,(,x,)=0,且在,x,0,的两侧的导数异号,则,x,0,是,f,(,x,),的极值点,f,(,x,0,),是极值,并且如果,f,(,x,),在,x,0,两侧满足“左正右负”,则,x,0,是,f,(,x,),的极大值点,f,(,x,0,),是极大值,;,如果,f,(,x,),在,x,0,两侧满足“左负右正”,则,x,0,是,f,(,x,),的极小值点,f,(,x,0,),是极小值,.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为,0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负,;,曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正,.,求函数,y=,f,(,x,),的极值,f(x,0,),，并判别,f,(,x,0,),是极大,(,小,),值的方法是,:,(3),如果在根,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,右侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极大值,;,(4),如果在根,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极小值,.,（,1,）求导数,f,(,x,);,（,2,）求方程,f(x,)=0,的所有实数根,;,如果在,f(x,)=0,的根,x=x,0,的左、右侧，,f(x,),的符号不变，则,f(x,0,),不是极值,.,即,:,f(x,)=0,的根不一定都是函数的极值点。,由此可见，可导函数,f(x,),在点,x,0,取得极值,的充分必要条件是,f(x,0,)=0,，且在,x,0,左侧,与右侧，,f(x,),的符号不同。很明显，,f(x,0,)=0,是,x,0,为极值点的必要条件，,并非充分条件。,注意：,如何求函数的最大（小）值呢？,假设,y,=,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在,a,，,b,一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间,(,a,，,b,),内的极值只可能在使,f,(,x,)=0,的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使,f,(,x,)=0,的点的值作比较，最大者必为函数在,a,，,b,上的最大值，最小者必为最小值。,求函数,y,=,f,(,x,),在,a,，,b,的,最大（小）值,步骤如下：,（,1,）求函数,f,(,x,),在开区间,(,a,，,b,),内所有使,f,(,x,)=0,的点；,（,2,）计算函数,f,(,x,),在区间内使,f,(,x,)=0,的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,例,1,已知函数,y,=,x,3,4,x,+4,，,（,1,）求函数的极值，并画出函数的大致图象；,（,2,）求函数在区间,3,，,4,上的最大值和最小值,解：（,1,）,y,=(,x,3,4,x,+4)=,x,2,4,=(,x,+2)(,x,2),令,y,=0,，解得,x,1,=,2,，,x,2,=2,x,2,(,2,2),2,y,+,0,0,+,y,极大值,极小值,当,x,变化时，,y,，,y,的变化情况如下表,:,当,x,=,2,时，,y,有极大值且,y,极大值,=,当,x,=2,时，,y,有极小值且,y,极小值,=,（,2,）,f,(,3)=7,，,f,(4)=9 =,，,与极值点的函数值比较得到该函数在区间,3,，,4,上,最大值是,9,，,最小值是,例,2,求,y,=(,x,2,1),3,+1,的极值,.,解：,y,=6,x,(,x,2,1),2,=6,x,(,x,+1),2,(,x,1),2,令,y,=0,解得,x,1,=,1,，,x,2,=0,，,x,3,=1.,当,x,变化时，,y,，,y,的变化情况如下表,:,x,(,1,),1,(,1,0),0,(0,1),1,(1,+,),y,0,0,+,0,+,y,无极值,极小值,0,无极值,当,x,=0,时，,y,有极小值且,y,极小值,=0,例,3,求函数,y,=,x,4,2,x,2,+5,在区间,2,，,2,上的最大值与最小值,解：先求导数，得,y,=4,x,3,4,x,令,y,=0,即,4,x,3,4,x,=0,，,解得,x,1,=,1,，,x,2,=0,，,x,3,=1.,导数,y,的正负以及,f,(,2),，,f,(2),如下表：,x,2,(,2,1),1,(,1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,0,0,0,y,13,4,5,4,13,从上表知,:,当,x,=2,时，函数有最大值,13,，,当,x,=1,时，函数有最小值,4,1,函数,y,=1+3,x,x,3,有,(,),(,A,),极小值,1,，极大值,1,(,B,),极小值,2,，极大值,3,(,C,),极小值,2,，极大值,2,(,D,),极小值,1,，极大值,3,D,达标练习,2,函数,y,(,x,2,1),3,1,的极值点是,(),(,A,),极大值点,x,=,1,(,B,),极大值点,x,=0,(,C,),极小值点,x,=0,(,D,),极小值点,x,=1,C,3,函数,f,(,x,)=,x,的极值情况是,(,),(,A,),当,x,=1,时取极小值,2,，但无极大值,(,B,),当,x,=,1,时取极大值,2,，但无极小值,(,C,),当,x,=,1,时取极小值,2,，当,x,=1,时取极大值,2,(,D,),当,x,=,1,时取极大值,2,，当,x,=1,时取极小值,2,D,4,若函数,y,=,x,3,+,ax,2,bx,27,在,x,=,3,时有极大值，在,x,=1,时有极小值，则,a,=,；,b,=,.,3,9,5,函数,y,=,3,48,x,x,3,的,极大值是,极小值是,y,|,x,=4,=125,y,|,x,=,4,=,131,6,函数,y,=,，当,x,=,时取得极大值为,；当,x,=,时取得极小值为,.,0,0,2,4,7,已知函数,f,(,x,),x,3,+,ax,2,+,bx,a,2,在,x,1,处有极值为,10,，求,a,，,b,的值,a,=4,，,b,=,11,课堂小结,一、极值的概念,二、求函数,y=,f,(,x,),的极值,f(x,0,),，并判别,f,(,x,0,),是极大,(,小,),值的方法是,:,课后作业,课本,P99,练习,B,1,