2025年甘肃省西北师大附中高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年甘肃省西北师大附中高二上数学期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

患病

未患病

总计

服用药
10

45

55

未服药

20

30

50

总计

30

75

105

下列说法正确的是（）
参考数据：，

0.05
0.01

3.841
6.635
A.有95%的把握认为药物有效
B.有95%的把握认为药物无效
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
2．过点且斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在长方体中，，E，F分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6．设双曲线C： 的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.2
C. D.
7．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.3
8．若，则（ ）
A. B.
C. D.
9．圆关于直线对称圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
10．若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比为（）
A. B.2
C. D.4
11．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）
A. B.1
C. D.
12． “”是“直线和直线垂直”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
14．直线的倾斜角为______
15．椭圆的焦距为______.
16．甲乙参加摸球游戏，袋子中装有3个黑球和1个白球，球的大小、形状、质量等均一样，若从袋中有放回地取1个球，再取1个球，若取出的两个球同色，则甲胜，若取出的两个球不同色则乙胜，求乙获胜的概率为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.
18．（12分）数列{}的首项为，且
（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和
19．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为
（1）若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；
（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障时能及时维修，都产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂在雇佣维修工人时，要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%，雇佣几名工人使该厂每月获利最大？
20．（12分）设等差数列的前n项和为，已知
（1）求数列通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值
21．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代码
1
2
3
4
人均年纯收入y/百元
25
28
32
35

（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）
参考公式：，
参考数据：，.
22．（10分）已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据列联表计算，对照临界值即可得出结论
【详解】根据列联表，计算，
由临界值表可知，
有95%的把握认为药物有效，A正确
故选：A
2、B
【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.
故选：B.
3、A
【解析】利用平行线，将异面直线的夹角问题转化为共面直线的夹角问题，再解三角形.
【详解】
取BC中点H，BH中点I，连接AI、FI、，因为E为中点，在长方体中，，所以四边形是平行四边形，所以
所以，又因为 F为的中点，所以，所以，
则即为异面直线与所成角(或其补角).
设AB=BC=4，则，则, ，根据勾股定理：
，，
，
所以 是等腰三角形，所以 .
故B，C，D错误.
故选：A.
4、D
【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
5、B
【解析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.
【详解】解：根据题意设出抛物线的方程，
因为点在抛物线上，所以有，解得，
所以抛物线的方程是：，
故选：B.
6、A
【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.
【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，

因为O为的中点，所以,
而,则，
为等腰三角形，故，
由，得，
又为等腰直角三角形，故，
即 ，解得 ，即，
故选：A.
7、C
【解析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.
【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，
所以是直角三角形，即.
由双曲线定义知，又因为，
所以.
在中，由勾股定理得，
化简得，所以.
故选：C.
8、D
【解析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.
【详解】设
由已知可得，，
因此，.
故选：D.
9、D
【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
10、A
【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.
【详解】解：成等比数列，
∴根据等比数列的通项得：，
，
故选：A.
11、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为
故选：B

12、A
【解析】根据直线垂直求出值即可得答案.
【详解】解：若直线和直线垂直，
则，解得或，
则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】根据直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，利用斜率公式，结合二次函数性质求解；设其倾斜角为，，利用正切函数的性质求解.
【详解】因为直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，
所以l的斜率为，
所以l的斜率取值范围为，
设其倾斜角为，，则，
所以其倾斜角的取值范围为，
故答案为：，
14、
【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出
【详解】设直线的倾斜角为
由直线化为，故，
又，故，故答案为
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是
15、
【解析】由求出即可.
【详解】可化为，设焦距为，则，则焦距
故答案为：
16、##0.375
【解析】先算出有放回地取两次的取法数，再算出取出两球不同色的取法数，根据古典概型的概率公式计算即可求得答案.
【详解】有放回地取两球，共有种取法，
两次取球不同色的取法有种，
故乙获胜的概率为 ，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），.
（2）5.
【解析】(1)根据数列的递推公式探求出其项间关系，由此求出的公比，进而求得，的通项公式.
(2)利用(1)的结论结合错位相减法求出，再将不等式变形，经推理计算得解.
【小问1详解】
解：设正项等比数列的公比为，当时，，即，
则有，即，而，解得，
又，则，所以，
所以数列，的通项公式分别为：，.
【小问2详解】
解：由(1)知，，
则，
则，
两式相减得：
于是得，
由得：，即，令，，
显然，，，，，，
由，解得，即数列在时是递增的，
于是得当时，即，，则，
所以不等式成立的n的最小值是5.
18、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
数列{}中，，则，由得：，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列{}的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，，
则，
所以数列{}的前n项和.
19、（1）答案见解析
（2）雇佣3名
【解析】（1）设出现故障的机器台数为X，由题意知，即可由二项分布求解；
（2）设该厂雇佣n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%需要至少3人，再分别计算3人，4人时的获利即可得解.
【小问1详解】
每台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，4台机器相当于4次独立试验
设出现故障的机器台数为X，则，
，，
，，
，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P

【小问2详解】设该厂雇佣n名工人，n可取0、1、2、3、4，
设“在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修”的概率为，则：
n
0
1
2
3
4
P

1
∵，
∴至少要3名工人，才能保证在任何时刻多台机器同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%
当该厂雇佣3名工人时，设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为17，12，
，，
∴Y的分布列为：
Y
17
12
P

∴，
∴该厂获利的均值为16.9万元
当该厂雇佣4名工人时，4台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为100%，该厂获利的均值为万元
∴若该厂要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%时，雇佣3名工人使该厂每月获利最大
20、（1）
（2）10
【解析】（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，因为，则.
因为，则，得.
所以数列的通项公式是
【小问2详解】
因为，则
所以
.
当时，因为，则.
当时，因为，则.
因为，则，即，
即，即．因为，所以
21、（1）散点图见解析；
（2），能够脱贫.
【解析】（1）直接画出点即可；
（2）利用公式求出与，即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.
【小问1详解】
画出y关于x的散点图，如图所示：
【小问2详解】
根据表中数据，计算，
，
又因为，，
所以，
，
关于的线性回归方程，
当时，（百元），
估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.
22、（1）；（2）是定值，定值为4
【解析】（1）根据正三角形性质与面积可求得即可求得方程；
（2）当直线斜率不为0时，设其方程代入椭圆方程利用韦达定理求得两根关系式，进而求得的表达式，最后求比值即可；当直线斜率为0时直接求解即可
【详解】（1）为正三角形，，可得，
且，∴椭圆的方程为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，
联立，消去得，
则，且，
∴弦的中点的坐标为，
则弦的垂直平分线为，
令，得，，
又
，
；
②当直线斜率为0时，则，，则.
综合①②得是定值且为4
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值