2025-2026学年北京市昌平区临川育人学校高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年北京市昌平区临川育人学校高二数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（）
A.96 B.97
C.98 D.99
2．已知直线与垂直，则为（ ）
A.2 B.
C.-2 D.
3．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
4．若，，则有（）
A. B.
C. D.
5．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）
A.6 B.10
C.11 D.12
6．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A. B.
C. D.
7．函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
8．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为
A. B.或
C. D.
9．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ）
A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列
B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列
C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列
D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列
10．方程表示的曲线是（）
A.一个椭圆和一个点 B.一个双曲线的右支和一条直线
C.一个椭圆一部分和一条直线 D.一个椭圆
11．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）

A. B.
C. D.
12．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.
14．总书记在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚取得了全面胜利.在脱贫攻坚过程中，为了解某地农村经济情况，工作人员对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下列结论中所存确结论的序号是____________
①该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%；
②该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%；
③估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元；
④估计该地有一半以上农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
15．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______
16．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是______
①过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
②椭圆C上存在点P，使得
③椭圆C的离心率为
④P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则线段PQ的最大长度为3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈）
（1）求数列{}的通项公式
（2）若=（n+1），求数列{}的前n项和
18．（12分）已知点及圆，点P是圆B上任意一点，线段的垂直平分线l交半径于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E
（1）求曲线E的方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形是菱形，求该菱形周长的最大值
19．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程
20．（12分）设数列的首项，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设且前项和为，求
21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
22．（10分）已知数列满足，，，n为正整数.
（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；
（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；
（3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C
2、A
【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.
【详解】因为直线与垂直
，

故选：A.
3、A
【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求
【详解】，
即，

则
．即
，
则该双曲线的方程是：
故选：A
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.
4、D
【解析】对待比较的代数式进行作差，利用不等式基本性质，即可判断大小.
【详解】因为，又，，故，则，即；
因为，又，，故，则；
综上所述：.
故选：D.
5、C
【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，且，，为等比数列，
所以，
解得或（舍去），
则，
所以，
解得，
所以使成立的最大n是11，
故选：C
6、D
【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦，最短弦为过点与垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.
【详解】圆化简为可得圆心为
易知过点的最长弦为直径，即
而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：

所以弦
所以四边形ABCD的面积：
故选：D
7、A
【解析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.
【详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；
因为，所以排除D；
因为，所以排除C，
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8、D
【解析】“”是“”的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求出的取值范围.
【详解】∵“”是“”的充分不必要条件
∴或
∴
故选：D.
【点睛】本题考查充分必要条件，根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围.解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
9、C
【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果
【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，
由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，
故选：C
【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
10、C
【解析】由可得，或，再由方程判断所表示的曲线.
【详解】由可得，或，即或，则该方程表示一个椭圆的一部分和一条直线.
故选：C
11、B
【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.
【详解】，所以实数组
故选：B
12、C
【解析】依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，
然后结合的自身范围解方程即可求出
【详解】∵成等比数列，∴，
∴，∴，
∴，又，∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题
14、①②④
【解析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项①，②，④，利用平均值的计算方法，即可判断选项③
【详解】解：对于①，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项①正确；
对于②，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项②正确；
对于③，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项③错误；
对于④，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项④正确
故答案为：①②④
15、##
【解析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.
【详解】在椭圆中，，，则，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
16、①②④
【解析】根据椭圆的几何性质结合的周长计算可判断①；根据，可通过以为直径作圆，是否与椭圆相交判断②；求出椭圆的离心率可判断③；计算椭圆上的点到圆心的距离的最大值，即可判断④.
【详解】对于①，由题意知：的周长等于
，故①正确；
对于②， ，故以为直径作圆，与椭圆相交，交点即设为P，故椭圆C上存在点P，使得，故②正确；
对于③， ，故③错误；
对于④，设P为椭圆上一点，坐标为 ，则，
故 ，
因为 ，所以 的最大值为2，故线段PQ的最大长度为2+1=3，
故④正确，
故答案为：①②④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得，利用错位相减求和法即可求出前n项和.
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，，
则，即，
又，则，
∴，故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为；
【小问2详解】
由(1)知，所以，
所以①，
则②，
①-②，得，
整理，得，
，
所以.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出，即可
（2）设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，，运用菱形和椭圆的对称性可得，关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得，设菱形的周长为，运用基本不等式，计算可得所求最大值
【小问1详解】
点在线段的垂直平分线上，
，
又，

曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆
设曲线的方程为，
，，

曲线的方程为
【小问2详解】
设的方程为，，，，，
设的方程为，，，，，
联立可得，
由可得，化简可得，①
，，

，
同理可得，
因为四边形为菱形，
所以，
所以，又因为，所以，
所以，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，
所以，关于原点对称，，也关于原点对称，
所以且，
所以，，，，
因为四边形为菱形，可得，
即，即，
即，
可得，
化简可得，
设菱形的周长为，
则
，
当且仅当，
即时等号成立，此时，满足①，
所以菱形的周长的最大值为
【点睛】关键点点睛：在处理此类直线与椭圆相交问题中，一般先设出直线方程，联立方程，利用韦达定理得出，，再具体问题具体分析，一般涉及弦长计算问题，运算比较繁琐，需要较强的运算能力，属于难题。
19、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；
（2）计算，利用并项求和法可求得.
【小问1详解】
证明：对任意的，，则，且，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.
【小问2详解】
解：，
所以，，
因此，.
21、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC，从而有AB⊥VC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论
【小问1详解】
证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，
∴MN∥AB，
∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，
∴AB∥平面CMN
【小问2详解】
证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，
∴AB⊥BC，VC⊥AC，
∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，
∴VC⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，
∴AB⊥VC，
又VC∩BC＝C，
∴AB⊥平面VBC
22、（1）证明见解析；
（2）证明见解析 （3）
【解析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；
（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；
（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.
【小问1详解】
由已知可知，显然有 ，否则数列不可能是等比数列；
因为，，故可得 ，
由 得： ，
即有 ，所以数列等比数列，
且 ；
【小问2详解】
假设存在，，成等差数列，
则 ，即，
整理得，即 ，
而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，
故数列中的任意三项，，都不成等差数列；
【小问3详解】
关于正整数n的不等式，即，
当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，
并且当 时，，
因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，
故 .