2026届山东省沂源县第二中学高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2026届山东省沂源县第二中学高二数学第一学期期末检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）
A.15 B.16
C.17． D.18
2．已知1与5的等差中项是，又1，，，8成等比数列，公比为，则的值为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.6
3．已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　）
A. B.
C D.
4．若且，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
5．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）
A.2022年1月8日 B.2022年1月9日
C.2022年1月10日 D.2022年1月11日
6．设是等差数列的前n项和，若，，则（）
A.26 B.－7
C.－10 D.－13
7．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）
A.经过点 B.经过点
C.平行于直线 D.垂直于直线
8．已知数列的通项公式是，则（）
A10100 B.-10100
C.5052 D.-5052
9．已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（）
A.1 B.2
C.3 D.4
10．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）
A.2 B.4
C.5 D.25
11．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
12．设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（ ）
A. B.
C. D.a，b的大小无法判断
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，抛物线上的点与轴上的点构成等边三角形，，，其中点在抛物线上，点的坐标为，，猜测数列的通项公式为________

14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是____________ .

15．已知函数，则f（e）＝__.
16．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.

（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
18．（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
19．（12分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求
20．（12分）四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，

（1）若为中点，求证平面；
（2）若，求面与面的夹角的余弦值.
21．（12分）已知两条直线，.设为实数，分别根据下列条件求的值.
（1）；
（2）直线在轴、轴上截距之和等于.
22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.

（1）求点到直线的距离
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.
【详解】前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.
2、A
【解析】由等差中项的概念列式求得值，再由等比数列的通项公式列式求解，则答案可求.
【详解】由题意，，则；
又1，，，8成等比数列，公比为，
，即,
,
故选：.
3、C
【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.
【详解】解：因为不等式解集为，
所以方程的解为或，且，
所以，所以，
所以，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
4、D
【解析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，若，则不等式不成立；
对于B，若，则不等式不成立；
对于C，若均为负值，则不等式不成立；
对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.
5、B
【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.
【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.
则
40小时=2400分钟，令，得或（舍去），
故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.
故选：B
6、C
【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.
【详解】，，解得，故.
故选：C.
7、A
【解析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.
【详解】如图所示：

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：A.
8、D
【解析】根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
.
故选：D.
9、D
【解析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D

【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.
10、B
【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.
【详解】解：设等比数列的公比为，
则，所以，
则.
故选：B.
11、C
【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.
【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是
故选：C
12、A
【解析】首先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.
【详解】设，，
所以函数在单调递增，即，
所以，那么，即.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出，，，，，，可猜测，利用累加法，即可求解
【详解】的方程为，代入抛物线可得，
同理可得，，，，
可猜测，
证明：记三角形的边长为，
由题意可知，当时，在抛物线上，
可得，
当时，，
两式相减得：
化简得：，
则数列是等差数列，，
，
，
，

故答案为：
14、
【解析】由题意建立空间直角坐标系，然后结合点面距离公式即可求得点M到截面ABCD的距离.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），
∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），
设（x，y，z）为平面ABCD的法向量，
则，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，
∴（2，﹣2，1），
∴M到截面ABCD的距离d
故答案为.
【点睛】本题主要考查空间直角坐标系及其应用，点面距离的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15、
【解析】由导数得出，再求.
【详解】∵，
∴，
，
解得，
，
，
故答案为：.
16、或2
【解析】由圆的方程有圆心，半径为，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，即可求离心率.
【详解】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为，
若双曲线为时，渐近线为且，
所以圆心到双曲线渐近线的距离为，
由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，
所以，故.
若双曲线为时，渐近线为且，
所以圆心到双曲线渐近线的距离为，
由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，
所以，故.
综上，双曲线的离心率为或2.
故答案为：或2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.
【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，
即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,
联立两个曲线，得，，即，
当焦点是右焦点时，
线段的方程
当焦点时左焦点时，
，，线段的方程
（2），
假设点在曲线上
单调递增
∴
所以点不可能在曲线上
所以点只可能在曲线上，根据得
可以得到
当左焦点，，同样这样的使得不存在
所以这样的点一共2个
（3）设直线方程，圆方程为
直线与圆相切，所以

，
，

根据得到
补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，
∵，
当，存在，否则不存在
这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时
存在不存在.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.
18、（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】解：（Ⅰ），
∵曲线在处的切线方程为，
∴解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）先判断出数列单调性，由时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.
【小问1详解】
是等差数列，公差
；
即；
【小问2详解】
，则
由（1）可知前五项为正，第六项开始为负

.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证，，再证平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，先求出面与面的法向量，再计算夹角余弦值即可.
小问1详解】

取中点，连接，则四边形为平行四边形，
，为直角三角形，且.
又平面，平面，.
又，平面.
【小问2详解】
，为等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图

令，则，

设面的法向量为，
则由得
取，则
设面的法向量为，则由得
取，则
设面与面的夹角为，则
所以面与面的夹角的余弦值为.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由两直线平行可得出关于的等式，求出的值，再代入两直线方程，验证两直线是否平行，由此可得出结果；
（2）分析可知，求出直线在轴、轴上的截距，结合已知条件可得出关于的等式，即可解得的值.
【小问1详解】
解：由，则，即，解得或.
当时，，，此时；
当时，，，此时重合，不合乎题意.
综上所述，；
【小问2详解】
解：对于直线，由已知可得，则，
令，得；令，得.
因为直线在轴、轴上截距之和等于，即，解得.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）由直棱柱的性质及勾股定理求出△各边长，应用余弦定理求，进而可得其正弦值，再求边上的高即可.
（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，然后可算出答案.
【小问1详解】
如图，连接，由题设，，，，
由直棱柱性质及，在中，在中，
在中，在中，
所以在△中，，则，
所以到直线的距离.
【小问2详解】
以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

易知：，，，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，取，则，
所以，即平面与平面的夹角的余弦值为