广东省深圳科学高中2026届高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

广东省深圳科学高中2026届高二数学第一学期期末统考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知角的终边经过点，则，的值分别为
A.， B.，
C.， D.，
3． “”是“函数在上无极值”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．数列中，满足，，设，则（）
A. B.
C. D.
5．焦点为的抛物线标准方程是（）
A. B.
C. D.
6．已知角为第二象限角，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知随机变量服从正态分布，，则（）
A. B.
C. D.
8．若圆与直线相切，则（）
A.3 B.或3
C. D.或
9．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线：，直线经过点，若直线与双曲线的右支只有一个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．抛物线的焦点到准线的距离是
A.2 B.4
C. D.
12．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A.3 B.6
C.8 D.12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2011年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知8号、24号、56号在样本中，那么样本中最后一个员工的号码是__________
14．由曲线围成的图形的面积为________
15．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________
16．抛物线的焦点到准线的距离是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线与直线交于点.
（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.
（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；
（2）过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点，……，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.
19．（12分）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm

（1）以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
（2）为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长
20．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点
（1）求a的取值范围；
（2）设的两个极值点分别为，证明：
21．（12分）设数列的前项和为，为等比数列，且，
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）已知数列的首项，其前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，且，求n.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据椭圆的定义可得△AF1B的周长为4a，由题意求出a，结合离心率计算即可求出c，再求出b即可.
【详解】由椭圆的定义知，△AF1B的周长为，
又△AF1B的周长为4，
则，，
，，
，
所以方程为，
故选：A.
2、C
【解析】利用任意角的三角函数的定义：，，，代入计算即可得到答案
【详解】由于角的终边经过点，则,，（为坐标原点），
所以由任意角的三角函数的定义：，.
故答案选C
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用，属于基础题
3、B
【解析】根据极值的概念，可知函数在上无极值，则方程的，再根据充分、必要条件判断，即可得到结果.
【详解】由题意，可得，
若函数在上无极值，
所以对于方程，,
解得.
所以“”是“函数在上无极值”的必要不充分条件.
故选：B.
4、C
【解析】由递推公式可归纳得，由此可以求出的值
【详解】因为，，
所以，
，
，

因此
故选C
【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力
5、D
【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，设抛物线的方程为，
因为抛物线的焦点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.
6、C
【解析】由同角三角函数关系可得，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.
【详解】∵，是第二象限角，
∴，
∴.
故选：C.
7、B
【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果
【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，
由于，所以，
所以，
则，
所以
故选：B.
【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
8、B
【解析】根据圆与与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】圆的标准方程为：，
则圆心为，半径为，
因为圆与与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，
解得或，
故选：B
9、A
【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积
【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，
作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，
∵底面是正三角形，，平面
∴，，∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，∴，
又∵，而，且，平面，∴平面，
∴平面，∴，
因为S−ABC是正三棱锥。所以，
以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，
则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，
所以.
故选：A.

10、D
【解析】以双曲线的两条渐近线作为边界条件，即可保证直线与双曲线的右支只有一个交点.
【详解】双曲线：的两条渐近线为和
两渐近线的倾斜角分别为和
由经过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，
可知直线的倾斜角取值范围为，
故直线的斜率的取值范围是
故选：D
11、D
【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.
12、B
【解析】根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、40
【解析】结合系统抽样的抽样方法来确定最后抽取的号码.
【详解】因为分段间隔为，故最后一个员工的号码为.
故答案为：
14、
【解析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.
当，时，曲线可化为：，
在第一象限为弓形，其面积为，
故.
故答案为：.

15、
【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.
【详解】椭圆C：,所以.
因为M在椭圆上,.
因为M在第一象限,故.
为等腰三角形,则,所以,
由余弦定理可得.

过M作MA⊥x轴于A,则
所以,即M的横坐标为.
因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，
所以，解得：
所以M的坐标为.
故答案为：
16、4
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；.
（2）或.
【解析】(1)首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离；
(2)根据截距式方程的求法解答
【小问1详解】
由得
设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程为
∴两平行线间的距离
【小问2详解】
当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程的方程为，即
综上所述，直线的方程为或
18、（1）在抛物线上，理由见解析
（2）, ,.
【解析】（1）根据直线的方程设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标即可判断点是否在抛物线上；
（2）设出直线的直线方程，与抛物线联立，令，即可求出，同理可以求出，设出直线的直线方程，与抛物线联立，令即可求出的方程，若令，，即，故数列是首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.
【小问1详解】
由已知条件得直线的方程为，
设点，则，
由直线的方程为可得点的坐标为，
点满足抛物线，则点是否在抛物线上；
【小问2详解】
设的直线方程为，
将直线与抛物线联立得，
，解得，
的直线方程为，则，即，
由此可知，设的直线方程为，
将直线与抛物线联立得，
，解得，
的直线方程为，则，即，
由此可知设点，设直线方程为，
将直线与抛物线联立得，
，其中，
即，，解得，
直线的方程为，即，
令得，即直线过点，
则直线的斜率为，直线的方程也可以表示为，
即，令，，即，
则，即数列是首项，公比为的等比数列，
故.
19、（1）
（2）cm
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程，
（2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案
【小问1详解】
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，
因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点，
所以，得，所以抛物线方程为；
【小问2详解】
若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为，
则可得，得，所以此时该磨具的口径长
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.
(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得：，
依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，
令，，则，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，，
因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，
有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，

因此有，
所以a取值范围是.
【小问2详解】
由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，
即，作差得，则有，
原不等式，
令，则，于是得，
设，则，
因此，在单调递增，则有，即成立，
所以.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
21、（1），；（2）
【解析】（1）由已知利用递推公式，
可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.
（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和
【详解】解：(1)当时，
，
当时，满足上式，
故的通项式为
设的公比为，
由已知条件知，
，，所以，
，即
(2)，

两式相减得：

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.
22、（1）
（2）
【解析】（1）由条件得，则利用等差数列的定义可得答案；
（2）利用裂项求和求出，再根据可求出n.
【小问1详解】
由得，
从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）得

，
由得
又，所以.