山东省宁阳市2026届高二数学第一学期期末预测试题含解析.doc

山东省宁阳市2026届高二数学第一学期期末预测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
3．设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.0 B.
C.3 D.4
4．已知直线，，若，则实数的值是（ ）
A.0 B.2或-1
C.0或-3 D.-3
5．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）
A.2 B.5
C.1 D.0
6．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
7．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直
C.在平面内 D.平行或在平面内
8．不等式表示的平面区域是一个（ ）
A.三角形 B.直角三角形
C.矩形 D.梯形
9．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）
A. B.
C. D.
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
11．设命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
12．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
14．椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____

15．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.
16．函数极值点的个数是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
（1）求直线AB的方程；
（2）若M为圆上的一点，求面积的最大值
18．（12分）已知曲线在处的切线方程为，且.
（1）求的解析式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）如图所示，四棱锥的底面为矩形，，，过底面对角线作与平行的平面交于点

（1）求二面角的余弦值；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值
20．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，求的面积
21．（12分）某市为加强市民对新冠肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），共5人，第2组[25，30），共35人，第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有-名志愿者被抽中的概率.
22．（10分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.

（1）证明：；
（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.
【详解】由题设，，
因为回归直线方程过样本点中心，
A：，排除；
B：，满足；
C：，排除；
D：，排除.
故选：B
2、A
【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.
【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.

故选：A
3、A
【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.
【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：

由，可得，
因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，
由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，
所以的最大值为，
故选：A.
4、C
【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.
【详解】由知：,解得：或
故选：C .
5、C
【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，
由，可得，则切线的斜率为，
由，可得，则切线斜率为，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以，解得或（舍去），
又由，即公共点的坐标为，
将点代入，可得.
故选：C.
6、A
【解析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得.
【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即.
故选：A
7、D
【解析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.
【详解】根据题意，因为，所以，所以直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内
故选：D
8、D
【解析】作出不等式组所表示平面区域，可得出结论.
【详解】由可得或，
作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所示：

由图可知，不等式表示的平面区域是一个梯形.
故选：D.
9、B
【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.
【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，
所以，圆锥的体积，解得，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B

10、B
【解析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果.
【详解】设等差数列{an}的公差为，
，，，即，
即.
当，时，①③④均成立，②不成立.
故选：B
11、B
【解析】全称命题的否定时特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题，，则为“，”.
故选：B
12、A
【解析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.
【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.

设，,
，由抛物线定义得：，
故
在直角三角形中，，
，，
，
，
，
∥，，
，即，
，
所以抛物线的方程为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】首先根据圆与圆的位置关系得到公共弦方程，再根据弦长求解即可.
【详解】根据得公共弦方程为：.
因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.
所以，解得.
故答案为：
14、
【解析】先证明则四边形OMPN是平行四边形，进而根据椭圆定义求出a，再求出c，最后求出答案.
【详解】因为M,O,N分别为的中点，所以，则四边形OMPN是平行四边形，所以，由四边形OMPN的周长为4可知，，即，则，于是
的周长是.
故答案为：.
15、 ①. ②.
【解析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.

.
故答案为： ；
16、0
【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.
【详解】因为，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以函数的极值点的个数是0，
故答案为：0.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；
（2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案.
【小问1详解】
圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：
直线的方程为；
【小问2详解】
圆心到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为，
而 ,
故面积的最大值为 .
18、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据导数的几何意义得，结合对数的运算性质求出m，利用直线的点斜式方程即可得出切线方程；
(2)由(1)将不等式变形为，利用导数研究函数在、、时的单调性，即可得出结果.
【小问1详解】
，∴，
，，
，，
切线方程为，即，
∴.
【小问2详解】
令，
，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即符合题意；
当时，设，
①当，，，所以在上单调递增，
，所以在上单调递增，
所以，故符合题意；
②当时，，，
所以在上递增，在上递减，且，
所以当时，，
则在上单调递减，且，
故，，舍去.
综上：
19、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）设，连接、，证明出平面，推导出为的中点，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；
（3）利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
解：设，则为、的中点，连接、，
因为平面，平面，平面平面，则，
因为为的中点，则为的中点，
因为，为的中点，则，同理可证，
，平面，
，，则，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，.
由图可知，二面角的平面角为锐角，
因此，二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：，，
，
因此，与所成角的余弦值为.
【小问3详解】
解：，，
因此，与平面所成角的正弦值为.
20、（1）
（2）4
【解析】（1）由已知设圆心，再由相切求圆半径从而得解.
（2）求弦长，再求点到直线的距离，进而可得解.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，所以设圆心，
又圆与轴相切于点，所以，即
圆与轴相切，则圆的半径，于是圆的方程为
【小问2详解】
圆心到直线的距离，则，
又到直线的距离为，
所以.
21、（1）0.04；
（2）.
【解析】（1）根据频率的计算公式，结合概率之和为1，即可求得参数；
（2）根据题意求得抽样比以及第三组和第四组各抽取的人数，再列举所有可能抽取的情况，找出满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【小问1详解】
第一组频率为，第二组的频率为，
则第一组与第二组的频率之和为，
又，故.
【小问2详解】
第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志题者中抽收6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：.
记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，
则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
，
，
共有10种
其中第3组的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：
，
共9种.
所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；
（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
证明：设，，
，
，
；
【小问2详解】
当为的中点时，，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：