2025-2026学年兰州大学附属中学高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年兰州大学附属中学高一数学第一学期期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期或战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位、…上的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位、…上的数按横式的数码摆出，如可用算筹表示为.

这个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果用算筹表示为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数，若，，，则，，的大小关系为
A. B.
C. D.
3．已知，且，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．已知，则（）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
5．已知，则　　
A.2 B.7
C. D.6
6．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
7．在中，若，且，则的形状为
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少要经过（）小时才能驾驶.（参考数据：，）
A.1 B.3
C.5 D.7
9．已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知为角终边上一点，且，则______
12．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.
①为幂函数；②为偶函数；③在上单调递减.
13．已知函数，则______，若，则______.
14．已知角的终边经过点，则的值等于______.
15．计算：________.
16．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则___.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线经过直线与的交点.
(1)点到直线的距离为3，求直线的方程；
(2)求点到直线的距离的最大值,并求距离最大时的直线的方程
18．计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
19．已知，均为锐角，且，是方程的两根.
（1）求的值；
（2）若，求与的值.
20．已知函数
（I）求函数图象的对称轴方程；
（II）求函数的最小正周期和值域.
21．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)设，，求到平面的距离.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先利用指数和对数运算化简，再利用算筹表示法判断.
【详解】因为，
用算筹记数表示为，
故选：.
2、C
【解析】根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可
【详解】∵f（x）=x3，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，
a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），
则2＜log39.1＜log310，20.9＜2，
即20.9＜log39.1＜log310，
则f（209）＜f（log39.1）＜f（log310），
即c＜b＜a，
故选C
【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键
3、B
【解析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.
【详解】，又，.
故选：B.
4、D
【解析】利用同角三角函数基本关系式中的技巧弦化切求解.
【详解】.
故选：D
【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系中的弦化切技巧，属于容易题.
5、A
【解析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果
【详解】，
，
，故选A
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值
6、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
7、D
【解析】由条件可得A为直角，结合，可得解.
【详解】，=，又，
为等腰直角三角形，
故选D.
【点睛】本题考查了向量数量积表示两个向量的垂直关系，考查了三角形的形状，属于基础题.
8、C
【解析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
详解】设经过个小时才能驾驶，则，
即
由于在定义域上单调递减，
∴
∴他至少经过5小时才能驾驶.
故选：C
9、C
【解析】由题设可得，结合集合与集合、元素与集合的关系判断各选项的正误即可.
【详解】由题设，，而为自然数集，则，且，
所以，，故A、B、D错误，C正确.
故选：C
10、B
【解析】，又函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以，解得.
考点：偶函数的性质.
【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键.根据函数奇偶性可得，再根据函数的单调性，可得；然后再解不等式即可求出结果

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】利用三角函数定义可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定义计算得解
【详解】由三角函数定义可得：，解得：，则，
所以，，
.
故答案为：.
12、（或，，答案不唯一）
【解析】结合幂函数的图象与性质可得
【详解】由幂函数，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此，或，等等
故答案为：（或，，答案不唯一）
13、 ①.15 ②.－3或
【解析】根据分段函数直接由内到外计算即可求，当时，分段讨论即可求解.
【详解】,
,
时，
若，则，解得或（舍去），
若，则，解得，
综上，或，
故答案为：15；－3或
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量，属于容易题.
14、
【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，，
因此，.
故答案为：.
15、
【解析】由,利用正弦的和角公式求解即可
【详解】原式,
故答案为:
【点睛】本题考查正弦的和角公式的应用,考查三角函数的化简问题
16、2
【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以

考点：向量的坐标运算与向量夹角

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) x＝2或4x－3y－5＝0(2)见解析
【解析】（1）设过两直线的交点的直线系方程，再根据点到直线的距离公式，求出的值，得出直线的方程；（2）先求出交点P的坐标，由几何的方法求出距离的最大值
【详解】(1)因为经过两已知直线交点直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
点到直线的距离为3， 所以＝3，
解得λ＝或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2，1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)
所以dmax＝|PA|＝
此时直线l的方程为: 3x－y－5＝0
18、（1）125（2）0
【解析】（1）按照指数运算进行计算即可；
（2）按照对数运算进行计算即可；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
19、（1）
（2）；
【解析】（1）利用韦达定理求出，再根据两角和的正切公式即可得解；
（2）求出，再根据二倍角正切公式即可求得，化弦为切即可求出.
【小问1详解】
解：因为，均为锐角，且，是方程的两根，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，均为锐角，，
所以，所以，
所以，
.
20、（I）（II）周期为，值域为
【解析】（I）化简得，进而可求解
（II）化简，进而可求解
【详解】（I）因为，，
所以，由得，对称轴为
（II）因为，
所以，，
周期为，值域为
【点睛】方法点睛：需要利用三角公式“化一”，进一步研究正弦型函数的图象和性质，达到解题目的
21、 (1)详见解析 (2)
【解析】（1）证面面垂直可根据证线线垂直，∵为菱形，∴.∵平面，∴.∴平面.（2）可根据等体积法求解到平面的距离
试题解析：
(1)∵为菱形，∴.
∵平面，∴.
∴平面.
又平面，∴平面平面.
(2)∵,,
∴，.
∵,
∴.
若设到平面的距离为.
∴，∴，∴.
即到平面的距离为.