河北省衡水市第十三中学2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

河北省衡水市第十三中学2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，，则有（）
A. B.
C. D.
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
3．若 则（ ）
A.−2 B.−1
C.1 D.2
4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）
A. B.
C. D.与相交但不垂直
5．已知是公差为3的等差数列.若，，成等比数列，则的前10项和（ ）
A.165 B.138
C.60 D.30
6．若曲线表示圆，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的导数为，则等于（）
A.0 B.1
C.2 D.4
9．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()
A.6 B.5
C.4 D.2
11．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
12．在正方体中，，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．关于曲线C：1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y＝0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；
⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形
其中正确结论的个数是_____
14．不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是______；若点P是双曲线C上一点，满足，，则双曲线C的方程为______
16．如图，茎叶图所示数据平均分为91，则数字x应该是__________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知定义域为的函数是奇函数，其中为指数函数且的图象过点
（1）求的表达式；
（2）若对任意的．不等式恒成立，求实数的取值范围；
18．（12分）已知数列 {an}满足，
（1）记 ，证明：数列 {bn } 为等比数列，并求数列 {bn}的通项公式；
（2）记数列 {bn}前 n 项和为 Tn ，证明：
19．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若,,求
20．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
21．（12分）已知椭圆过点，且离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点
①若，求；
②求的值
22．（10分）已知，.
（1）若，为假命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】对待比较的代数式进行作差，利用不等式基本性质，即可判断大小.
【详解】因为，又，，故，则，即；
因为，又，，故，则；
综上所述：.
故选：D.
2、A
【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.
【详解】因为，所以，
因为，的面积为10，所以，故，
从而，解得，
由正弦定理得：.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.
3、B
【解析】分子分母同除以，化弦为切，代入即得结果.
【详解】由题意，分子分母同除以，可得.
故选：B.
4、B
【解析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论
【详解】因为，，
所以，
所以∥，
因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
故选：B
5、A
【解析】由等差数列的定义与等比数列的性质求得首项，然后由等差数列的前项和公式计算
【详解】因为，，成等比数列，所以，
所以，解得，
所以
故选：A
6、C
【解析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
7、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
8、A
【解析】先对函数求导，然后代值计算即可
【详解】因为，
所以.
故选：A
9、B
【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.
【详解】由双曲线的离心率为，知 ，
则，即有 ，故，
所以双曲线C的渐近线方程为 ，即，
故选：B.
10、B
【解析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.
【详解】由题意，,解得
所以
故选：B.
11、A
【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.
【详解】设利润为y万元，则，
∴.
令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.
故选：A
【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：
(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值
(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到
12、A
【解析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】因为，
而，
所以有，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论
【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；
对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；
对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；
对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，
根据对称性，可得公共点为 ，
故曲线C与曲线D 有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确
故答案为：4
14、##
【解析】设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，利用列举法分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望
【详解】解：不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，，8的八张卡片
从中随机取出3张，共有种，
设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，
的情况有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6个，
，
的情况有：
取，另外一个数有5种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有5种取法
的情况一共有：，
，
，
随机变量的数学期望：
故答案为：
15、 ①.##1.5 ②.
【解析】求得焦点到渐近线的距离可得，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得，计算即可得出结果.
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，
又，，
，，.
双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，
，
即，解得：，由，解得：,.
双曲线C的方程为.
故答案为：；.
16、1
【解析】结合茎叶图以及平均数列出方程，即可求出结果.
【详解】由题意可知，解得，
故答案为：1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）设（且），因为的图象过点，求得a的值，再根据函数f(x)是奇函数，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，检验是奇函数即可；
（2）将分式分离常数后，利用指数函数的性质可以判定f(x)在R上单调递减，进而结合奇函数的性质将不等式转化为二次不等式，根据二次函数的图象和性质，求得对于对任意的恒成立时a的取值范围即可.
【详解】解：（1）由题意，设（且），
因为的图象过点，可得，解得，即，
所以，
又因为为上的奇函数，
可得，即，解得，
经检验，符合，所以
（2）由函数，可得在上单调递减，
又因为为奇函数，所以，
所以，即，
又因为对任意的，不等式恒成立，
令，即对任意的恒成立，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为
【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数函数及其性质和函数不等式恒成立问题，关键是利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为二次不等式在闭区间上恒成立问题，然后利用二次函数的图象转化为二次函数的端点值满足的条件.另外注意，第一问中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意检验对于任意的实数x，f(x)=-f(-x)恒成立.
18、（1）证明见解析；bn = 2n
（2）证明见解析
【解析】（1）由递推关系式转化为等比数列即可求解；
（2）由（1）求出，再用裂项相消法求和后就可以证明不等式.
【小问1详解】
由 an+1 = 2an +1 可得
所以 {bn} 是以首项 ，公比为 2 的等比数列
所以.
【小问2详解】
易得
于是
所以

因为，所以 .
19、（1）；（2）
【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解
试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8, 2分
∴+=20 ∴解之得或 4分
又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n 6分
（2）, ∴ ① 8分
∴②
∴①-②得＝ 12分
考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

21、（1）
（2）①,②
【解析】（1）由题意得解方程组求出，从而可得椭圆的方程，
（2）①由题意可得的方程为，再与椭圆方程联立，解方程组求出的坐标，从而可求出；②当时，，当时，直线方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可得中点的坐标，再将直线的方程与方程联立，求出点的坐标，从而可求出的值
【小问1详解】
由题意得
解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
① 当时，直线的斜率，
则的垂线的方程为
由 得
解得
故，，
② 由，，显然斜率存在，，
当时，
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为
由 得
显然
设，，则
，
则中点
直线的方程为，
由得
所以
综上的值为
22、（1）
（2）
【解析】（1）分别求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、都为假命题，求出的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得是的必要不充分条件，则真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
由，解得，即，
由，可得，所以，
当时，解得，即，
因为为假命题，则、都为假命题，
当为假命题时：或
当为假命题时：或
故当、都为假命题，或
综上可得；
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，
由（1）可知，，
所以真包含于，
所以，解得，即