河南省师范大学附属中学2025-2026学年高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

河南省师范大学附属中学2025-2026学年高二数学第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（ ）
A.－2 B.0
C.3 D.6
3．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）

A.7 B.10
C.13 D.16
4．的展开式中，常数项为（）
A. B.
C. D.
5．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（）

A. B.
C. D.
6．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）
A.5 B.6
C.7 D.8
7．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.
8．已知向量，，则以下说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
10．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）

A. B.
C. D.
11．已知数列满足：，，则（）
A. B.
C. D.
12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____
14．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点，与椭圆交于.若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为_______
15．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是，已知
（1）求角B的大小；
（2）求三角形ABC的面积.
18．（12分）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若点，求过点的圆的切线方程.
19．（12分）设函数
（1）若，求的单调区间和极值；
（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；
（3）若存在，使得，求的取值范围
20．（12分）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其一分
一分钟跳绳个数

成绩(分)
16
17
18
19
20
频率

（1）若每分钟跳绳成绩不足18分，则认为该学生跳绳成绩不及格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格的人数为多少？
（2）该学校决定由这次跳绳测试一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生组成“小小教练员"团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中选派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率
21．（12分）已知命题p：集合为空集，命题q：不等式恒成立
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围
22．（10分）已知正项等差数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限
【详解】复数在复平面内对应的点为
则复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选：D
2、A
【解析】利用已知条件求得，由此求得.
【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，
所以a3＝a1＋2d＝－2.
故选：A.
3、C
【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.
【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；
第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；
第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.
输出的i值为13.
故选：C.
4、A
【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：A.
5、D
【解析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.
【详解】由题意得：，，且，
又，，
，
，.
故选：D.
6、B
【解析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.
【详解】依题意，，则这个样本的中心点为，因此，，解得，
所以实数m的值为6.
故选：B
7、D
【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得，所以抛物线的方程为
故选：D

8、C
【解析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.
【详解】因为向量，，所以，故，所以选项A正确；，，所以，故选项B正确；，所以，故选项C错误；，所以，，故，所以选项D正确.
故选：C.
9、D
【解析】由双曲线的方程及双曲线的离心率即可求解.
【详解】解：因为双曲线，所以，
所以双曲线的离心率，
故选：D.
10、C
【解析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.
【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.

故选：C.
11、A
【解析】由a1＝3，，利用递推思想，求出数列的前11项，推导出数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，由此能求出a2022
【详解】解：∵数列{an}满足：a1＝3，，
∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，
a58，4，a72，a81，
a9＝3a8+1＝4，a102，a111，
∴数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，
∵2022＝5+672×3+1，
∴a2022＝a6＝4
故选：A
12、D
【解析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值
【详解】如图，由题意得，，，
在中，，
在中，，
所以，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、14
【解析】根据椭圆的定义及椭圆上一点P到焦点的距离等于6，可得的长.
【详解】解：根据椭圆的定义，
又椭圆上一点P到焦点的距离等于6，
，故，
故答案：.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.
14、
【解析】利用椭圆及三角形内切圆的性质可得、，结合等边三角形的性质得的大小，在△中应用余弦定理得到a、c的齐次式，即可求离心率.
【详解】
由题意知：由内切圆的性质得：,
由椭圆的性质,而,
∴,
∴由内切圆的性质得：
再由椭圆的性质,得：,
由此，△为等边三角形,可得,
在△中，由余弦定理得：，
解得，
则,
故答案为：.
15、
【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.
【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.
因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：
令，此时，，于是直线过定点
当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点
点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：
16、
【解析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥，
所以该几何体的体积为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）B=300（2）
【解析】分析：（1）由同角三角函数关系先求，由正弦定理可求值，从而可求的值；（2）先求得的值，代入三角函数面积公式即可得结果.
详解：(1)由正弦定理
又 ∴B为锐角 sinA=, 由正弦定理B=300
(2)
,
∴.
点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得，由此求得圆的方程.
（2）根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
【小问1详解】
由题意，设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：…①
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
结合①有：，，
又，，，
圆的标准方程为：.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，满足题意
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.
又圆C的圆心为，半径，
由 ，
解得.
所以直线方程为，即
即 直线的方程为或.
19、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.
（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.
（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
由解得
与在区间上的情况如下：

–

↘

↗
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值，无极大值
【小问2详解】
由（1）知，在区间上的最小值为
因为存在零点，所以，从而
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点
当时，在区间上单调递减，且，
所以在区间上仅有一个零点
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点
【小问3详解】
设，
①若，则，符合题意
②若，则，故当时，，在上单调递增
所以，存在，使得的充要条件为
，解得
③若，则，故当时，；
当时，
在上单调递减，在上单调递增
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意
综上，的取值范围是
【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.
20、（1）14人；（2）.
【解析】（1）根据频率直方表区间成绩及其对应的频率，即可求每分钟跳绳成绩不足18分的人数.
（2）由表格数据求出一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生共6人，列举出六人中选两人参加比赛的所有情况、小明和小华至少有一个被选派的情况，由古典概型的概率求法即可得小明和小华至少有一人被选派的概率.
【详解】（1）由表可知，每分钟跳绳成绩不足18分，即为成绩是16分或17分，
在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格人数为：人)
（2）一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生频率为，其人数为：(人)，
记小明为，小华为，其余四人为，则在这六人中选两人参加比赛的所有情况为：，共15种，
其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：，共9种，
小明和小华至少有一人被选派的概率为：.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据判别式小于0可得；
（2）根据复合命题的真假可知，p和q有且只有一个真命题，然后根据相应范围通过集合运算可得.
【小问1详解】
因为集合为空集，
所以无实数根，即，解得，
所以p为真命题时，实数a取值范围为.
【小问2详解】
由解得：，即命题q为真时，实数a的取值范围为，
易知p为假时，a的取值范围为，q为假时，a的取值范围为.
因为为真命题，为假命题，则p和q有且只有一个真命题，
当p为假q为真时，实数a的取值范围为；
当p为真q为假时，实数a的取值范围为.
综上，实数a的取值范围为
22、（1）；（2）.
【解析】（1）设数首项为，公差为，由，，列出方程组，求得，，即可求出数列的通项公式；
（2），利用列项相消求和法即可得出答案.
【详解】（1）设数首项为，公差为，
由题得.
解得，，（负值舍去）
所以；
（2）由（1）得
则
.