2025-2026学年浙江台州市书生中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年浙江台州市书生中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　 　)
A. B.
C. D.
2．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）

A B.
C. D.
3．已知等差数列 {} 的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若，则公差 d 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．命题，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
6．已知抛物线上一点M与焦点间的距离是3，则点M的纵坐标为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
8．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
③线性回归方程必过
④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；
⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误的个数是（）
A.0 B.1
C.2 D.3
9．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A.3 B.
C.1 D.
10．圆关于直线对称圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
11．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）
A. B.
C. D.
12．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列满足，，其前n项积为，则______
14．对某市“四城同创”活动中100名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为________

15．如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______

16．设有下列命题：
①当，时，不等式恒成立；
②函数在上的最小值为2；
③函数在上的最大值为；
④若，，且，则的最小值为
其中真命题为________________．（填写所有真命题的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知首项为1的数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
18．（12分）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围
19．（12分）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B
（1）求集合A，B；
（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围
20．（12分）设等比数列的前项和为，且（）
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：
21．（12分）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点

（1）求证：平面ABCD；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值
22．（10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程
（1）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线；
（2）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点；
（3）经过点抛物线
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到
【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到
可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.
故答案为A.
【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.
2、A
【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.
【详解】，表示两点连线斜率，
表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；
根据图象可知，.
故选：A
3、A
【解析】该等差数列有最大值，可分析得，据此可求解.
【详解】，故，故有
故d 取值范围为.
故选：A
4、B
【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.
【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.
②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.
③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.
④，若为空间的一个基底，即不共面，
若共面，则存在不全为零的，
使得，
故，
因为为空间的一个基底，，
故，矛盾，故不共面，
所以构成空间的另一基底，④正确.
所以正确的判断是个.
故选：B
5、B
【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
所以命题，，则为：，.
故选：B
6、B
【解析】利用抛物线的定义求解即可
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
因为抛物线上一点M与焦点间的距离是3，
所以，得，即点M的纵坐标为2，
故选：B
7、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
8、C
【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.
9、A
【解析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
故选：A

【点睛】方法点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
10、D
【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
11、D
【解析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.
【详解】令，得，即，所以，
因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，即，
所以，
即，可得，
则，
故选：D.
第II卷（非选择题
12、B
【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据数列的项的周期性，去求的值即可解决.
【详解】由，，可得，，，，，，
由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，所以数列的前2022项之积为
故答案为：
14、
【解析】首先根据频率分布直方图计算出年龄在的频率，从而可计算出年龄在的人数.
【详解】年龄在的频率为，
所以年龄在的人数为.
故答案为：.
15、
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.
【详解】长方形可得，
因为平面与平面互相垂直，平面平面，
平面，故平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
故，，
故.
故答案为：
16、①③④
【解析】①直接利用基本不等式判断即可；②直接利用基本不等式以及等号成立的条件判断即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判断；④设，，利用指、对互化以及基本不等式即可判断.
【详解】由于，，
故恒成立，当且仅当时取等号，所以①正确；
，当且仅当，
即时取等号，由于，所以②不正确；
因为，所以，当且仅当时取等号，
而，
即函数的最大值为，所以③正确；
设，，
则，，，，，
所以

，
当且仅当，时取等号，
故的最小值为，所以④正确.
故答案为：①③④
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；
（2）由（1）得，利用裂项相消可求.
【小问1详解】
由，得，
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
故数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以.
因为，
所以

，
所以数列的前n项和.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；
（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围
【小问1详解】
依题意，，，所以，
设等差数列的公差为，则，
解得，
所以
【小问2详解】
，则数列是递增数列，
，
所以，
若，则.
19、（1），
（2）
【解析】（1）直接解不等式即可，
（2）由题意可得Ü，从而可得解不等式组可求得答案
【小问1详解】
由，得，故
由，得，
故
【小问2详解】
依题意得：Ü，
∴解得
∴m的取值范围为
20、（1）（2）见解析
【解析】（1）由两式相减得，
所以（）
因为等比，且，所以，所以
故
（2）由题设得，所以，
所以，
则
，
所以
21、 (1)证明见解析，(2)
【解析】（1）题中易得，，利用勾股定理可得，从而可证得线面垂直；
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值
【详解】（1）证明：在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，
侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点
，，，，
，，
，平面ABCD
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，

0，，，0，，，
，，，
设平面PBC的法向量y，，
则，取，得1，，
设直线AB与平面PBC所成角，
直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角．空间角的求法一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求得空间角
22、（1）
（2）
（3）或
【解析】（1）由已知求得，再由等轴双曲线的性质可求得则，由此可求得双曲线的方程；
（2）由已知求得抛物线的焦点为，得出椭圆的，再根据椭圆的离心率求得，由此可得出椭圆的方程；
（3）设抛物线的标准方程为：或，代入点求解即可.
【小问1详解】
解：对于直线，令，得，所以，则，所以，
所以中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程为；
【小问2详解】
解：由得抛物线的焦点为，所以对于椭圆，，又椭圆的离心率为，所以，解得，
所以椭圆的方程；
【小问3详解】
解：因为点在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程可以是：或，
代入点得或，解得或，
所以经过点的抛物线的方程为或