2026届黑龙江省大庆市高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2026届黑龙江省大庆市高二数学第一学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法，我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗并持续加快推进接种工作．某地为方便居民接种，共设置了A、B、C三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）
A. B.
C. D.
2．点到直线的距离为
A.1 B.2
C.3 D.4
3．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
4．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（ ）
A. B.3
C. D.6
5．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　）
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
6．已知空间向量，，，则（）
A.4 B.-4
C.0 D.2
7．以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A. B.
C. D.
8．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（）
A.24 B.22
C.20 D.16
9．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
10．焦点为的抛物线标准方程是（）
A. B.
C. D.
11．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（ ）
A.621 B.622
C.1133 D.1134
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.
14．若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.
15．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______
16．曲线在点（1，1）处的切线方程为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
18．（12分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，
（1）求，，，
（2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
19．（12分）设曲线在点（1，0）处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）求证：；
（3）当，求a的取值范围.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线有且只有一个公共点
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过椭圆M的右焦点F的直线交椭圆M于A，B两点，过F且垂直于直线的直线交椭圆M于C，D两点，则是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
21．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.

（1）证明：平面PAD；
（2）若M是BP的中点，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
（1）求的方程；
（2）是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用古典概型的概率公式可求出结果
【详解】由题知,基本事件总数为
甲、乙两人不在同一接种点接种疫苗的基本事件数为
由古典概型概率计算公式可得所求概率
故选:
2、B
【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】，答案为B
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
3、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
4、C
【解析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，
∴，∴，
∴

，
故选：C
5、C
【解析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系
【详解】圆：的圆心为，半径，
圆：，即，圆心，半径，
两圆的圆心距，显然，即，
所以圆与圆相交.
故选：C
6、A
【解析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案.
【详解】因为，所以存在实数，使得，则.
故选：A.
7、A
【解析】分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据，求解.
【详解】设椭圆的方程分别为，，由可知，
直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.
联立得，
故，；
联立得，
则，.
因为，所以，
所以.
又，所以，
所以，所以，.
故选：A.
【点睛】此题利用设而不求的方法，找出、、、之间的关系，化简即可得到的值.此题的难点在于计算量较大，且容易计算出错.
8、A
【解析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
9、C
【解析】求得，由此求得双曲线的渐近线方程.
【详解】离心率，则，所以渐近线方程.
故选：C
10、D
【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，设抛物线的方程为，
因为抛物线的焦点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.
11、C
【解析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的奇函数，
当时，，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，则，
由得，可得，解得
故选：C.
12、C
【解析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.
【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
共10项，
和为；
，共10项，
其和为；
∴该数列前20项的和；
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】当时，利用及求得函数的解析式.
【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.
【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.
14、5
【解析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.
【详解】因为抛物线方程为，
所以准线方程，
所以点到准线的距离为，
故点到该抛物线焦点的距离.
故答案为：
15、
【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：
16、
【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】因为，所以曲线在点（1，1）处的切线的斜率为，
所以所求切线方程为：，即.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）是，证明见解析
【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；
（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.
【小问1详解】
由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又

所以为定值.
18、（1）；；；；（2）选乙参加比赛，理由见解析.
【解析】（1）利用平均数和方程公式求解；
（2）利用（1）的结果作出判断.
【详解】（1）由数据得：
；
；

（2）由（1）可知，甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，
说明乙的成绩更稳定；
应该选乙参加比赛.
19、（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】（1）求导，根据导数的几何意义，令x=1处的切线的斜率等1，结合，即可求得a和b的值；
（2）利用（1）的结论，构造函数，求求导数，判断单调性，求出最小值即可证明；
（3）根据条件构造函数，求出其导数，分类讨论导数的值的情况，根据单调性，判断函数的最小值情况，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知：，
因为曲线在点（1，0）处的切线方程为，
故 ，即 ；
【小问2详解】
证明：由（1）知：，
令 ，
则，
当时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增，
所以当 时，取得极小值，也即最小值，最小值为 ，
故 ，即成立；
【小问3详解】
当，
即 ，（ ），
设，（），
则，
当时，由 得 ，此时，
此时在时单调递增， ，适合题意；
当时，，
此时在时单调递增， ，适合题意；
当时， ，此时，
此时在时单调递增， ，适合题意；
当时， ，
此时在内，，在内，，
故 ，
显然时，，
不满足当恒成立，
综上述：.
20、（1）
（2）存在，
【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.
（2）设直线，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可用表示，从而可求的值.
【小问1详解】
据题意，得 ，∴ ，
∴所求椭圆M的标准方程为
【小问2详解】
据（1）求解知，点F坐标为
若直线的斜率存在，且不等于0，设直线
据得
设，则，
∴

同理可求知，
∴，
∴，即此时存满足题设；
若直线的斜率不存在，则；若直线的斜率为0，则，
此时若，则
综上，存在实数，且使
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；
（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.
【小问1详解】
证明：由已知为等边三角形，且，所以
又因为，,
在中，，
又，
所以在底面中，，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，
由已知可知平面ABCD的一个法向量
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则，
所以，
由图形可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
22、（1）；
（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；
（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.
【小问1详解】
双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；
对双曲线，令，解得，则，解得，
故双曲线方程为：.
小问2详解】
根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，
若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，
可得，则，
即，此时直线与双曲线交于两点，
则，则，
即，即，
则，此时满足题意；
若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.
综上所述，存在轴上的一点满足.
【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.