上海市向明中学2026届高二数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

上海市向明中学2026届高二数学第一学期期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且的最大值为，则椭圆离心率为（）
A. B.
C. D.
3．已知，则下列说法错误的是（ ）
A.若，分别是直线，的方向向量，则直线，所成的角的余弦值是
B.若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是
C.若，分别是平面，的法向量，则平面，所成的角的余弦值是
D.若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是
4．若，都是实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5．下列求导错误的是（）
A. B.
C. D.
6．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知公差为的等差数列满足，则（）
A B.
C. D.
8．下列命题中，一定正确的是（ ）
A.若且，则a>0，b<0
B.若a>b，b≠0，则>1
C.若a>b且a＋c>b＋d，则c>d
D.若a>b且ac>bd，则c>d
9．已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为（ ）
A.12 B.13
C.12或13 D.13或14
10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（）
A.与互为对立事件 B.与互斥
C.与相等 D.
11．方程有两个不同的解，则实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
12．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则（ ）

A. B.
C.1 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x，y满足约束条件则的最大值为________
14．已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
15．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则__________；记表示不超过的最大整数，例如，若，设的前项和为，则__________
16．设，若，则S＝________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·

（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积
18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值
19．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求值
21．（12分）已知函数
（1）若在上不单调，求a的范围；
（2）试讨论函数的零点个数
22．（10分）如图所示，是棱长为的正方体，是棱的中点，是棱的中点

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求到平面的距离
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.
【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，
D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.
2、A
【解析】根据椭圆的定义可得，从而得到，则，其中，再根据对勾函数的性质求出，即可得到方程，从求出椭圆的离心率；
【详解】解：依题意，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）
故选：A
3、D
【解析】利用空间角的意义结合空间向量求空间角的方法逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，因分别是直线的方向向量，且，直线所成的角为，则，A正确；
对于B，D，因分别是直线l的方向向量与平面的法向量，且，直线l与平面所成的角为，
则有，B正确，D错误；
对于C，因分别是平面的法向量，且，平面所成的角为，
则不大于，，C正确.
故选：D
4、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.
【详解】若，则，可得，所以，可得，
故充分性成立，
取，，满足，但，无意义得不出，
故必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
5、B
【解析】根据导数运算求得正确答案.
【详解】、、运算正确.
，B选项错误.
故选：B
6、B
【解析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.
且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.
7、C
【解析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.
【详解】∵数列是公差为的等差数列，
∴，
∴.
故选：C
8、A
【解析】结合不等式的性质确定正确答案.
【详解】A选项，若且，则，所以A选项正确.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，如，但，所以C选项错误.
D选项，如，但，所以D选项错误.
故选：A
9、C
【解析】设等差数列的公差为q，根据，，成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前n项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为q，
因为，且，，成等比数列，
所以，
解得，
所以，
所以当12或13时，取得最大值，
故选：C
10、D
【解析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，，
所以ABC错误，D正确，
故选：D
11、C
【解析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和表示恒过定点的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.
【详解】令，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，
表示恒过定点的直线，方程有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图

圆心到直线的距离为，解得，
当直线经过时由得，当直线经过时由得，
所以实数k的取值范围为.
故选：C.
12、B
【解析】由，，得，然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来，可求出的值，从而可得答案
【详解】解：因为，，
所以
所以

,
因为，所以，
所以，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】先作出可行域，由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，求出点坐标代入目标函数中可得答案
【详解】作出可行域如图（图中阴影部分），
由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故答案为：1

14、
【解析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.
【详解】∵，，使得成立，
∴
由，得，
当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为
又在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是
故答案为：.
15、 ①.； ②.60.
【解析】先根据并结合等差数列的定义求出；然后讨论n的取值范围，讨论出分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出.
【详解】由题意，，n=1时，，满足，
时，，于是，，因为，所以.所以，是1为首项，2为公差的等差数列，所以.
若，即时，，
若，则时，，
若，则时，，
若，则时，，
若，则或22时，，
于是，.
故答案为：2n-1；60.
16、1007
【解析】可证f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求为1007对的组合，即1007个1，可得答案
【详解】解：∵函数f（x），
∴f（x）+f（1﹣x）1
故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,
故答案为：1007
点睛】本题考查倒序相加法求和，推断出f（x）+f（1﹣x）＝1是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；
（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若是的中点，则，，，
于是，∴，即
【小问2详解】
由题设知，，，是平面内的两个不共线向量
设是平面的一个法向量，
则，取，得
又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时
设，而，由此得点，，
∵平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，解得，从而
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
18、（1），（2）
【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值
【详解】解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;

,
由
由余弦定理可得：，
，

如图所示:

设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时
故的面积的最小值为
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
19、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）首先由，，成等比数列，求出，再由①或②或③求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；
（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，即，∵，故，
选①: 由，可得，解得，所以数列的通项公式为
选②: 由，可得，即，所以，解得，所以；
选③: 由，可得，即，所以，解得，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，所以.
20、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；
（2）.
【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；
（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
小问1详解】
由；

；
【小问2详解】
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得
，
，因为在直线上，
所以，或而，
所以.
21、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）由：存在使来求得的取值范围.
（2）利用分离常数法，结合导数来求得零点个数.
【小问1详解】
，在上递增，
由于在上不单调，
所以存使，
，所以.
【小问2详解】
，
令，
当时，，
构造函数，，
所以在递减；在递增，
当时，；当时，；.
由此画出大致图象如下图所示，
所以，当时，有个零点，
当时，没有零点，
当时，有个零点.

22、（1）
（2）
【解析】（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面的法向量，利用空间向量法可求得到平面的距离.
【小问1详解】
解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的坐标系

则、、、、、、，所以，，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，可得，
所以，，
直线与平面所成角的正弦为
小问2详解】
解：设平面的一个法向量，，，
由，即，令，得，
，所以点到平面的距离为
即到平面的距离为