2026届浙江省杭州学军中学海创园学校高一数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2026届浙江省杭州学军中学海创园学校高一数学第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，则下列判断正确的是（）
A. B.
C. D.
2．下列各式不正确的是（ ）
A.sin(α+)=－sinα B.cos(α+)=－sinα
C.sin(－α－2)=－sinα D.cos(α－)=sinα
3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（）
A. B.
C. D.
4．命题“”否定是（　　）
A. B.
C. D.
5．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．在中，“角为锐角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．函数的值域为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
8．已知函数，则，（）
A.4 B.3
C. D.
9．下列四个选项中正确的是（）
A B.
C. D.
10．以下命题（其中，表示直线，表示平面）：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，则
其中正确命题的个数是
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________
12．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）

13．已知函数，
（1）______
（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______
14．已知函数的最大值为3，最小值为1，则函数的值域为_________.
15．已知函数的图像恒过定点，若点也在函数的图像上，则__________
16．已知点角终边上一点，且，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=-（其中e为自然对数的底数）
（Ⅰ）比较f（2）与f（-3）大小；
（Ⅱ）设g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．
18．已知函数是指数函数
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围
19．已知集合，.
（1）求，；
（2）若，且，求实数的取值范围.
20．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）若，求的最值以及取得最值时相应的的值.
21．如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
2、B
【解析】将视为锐角，根据“奇变偶不变，符号看象限”得出答案.
【详解】将视为锐角，
∵在第三象限，正弦为负值，且是的2倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，A正确；
∵在第四象限，余弦为正值，且是的3倍为奇数数，要改变三角函数的名称，∴，B错误；
∵，在第四象限，正弦为负值，且0是的0倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，C正确；
∵在第四象限，余弦为正值，且是的1倍为奇数，要改变三角函数的名称，∴，D正确.
故选：B.
3、C
【解析】由题可列出，可求出
【详解】的定义域是，
在中，，解得，
故的定义域为.
故选：C.
4、A
【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案
【详解】全称命题的否定为特称命题，命题“”的否定是，
故选：A
5、D
【解析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵函数，定义域为，
又，
所以函数关于对称，
当时，单调递增，故函数单调递增，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
由可得，，
解得，且.
故选：D.
6、D
【解析】分析条件与结论的关系，根据充分条件和必要条件的定义确定正确选项.
【详解】若角为锐角，不妨取，则，
所以“角为锐角”是“”的不充分条件，
由，可得，所以角不一定为锐角，
所以“角为锐角”是“”的不必要条件，
所以“角为锐角”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
7、D
【解析】将函数解析式变形为，再根据指数函数的值域可得结果.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
故选：D
8、D
【解析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【详解】解：因为，，所以，
所以
故选：D
9、D
【解析】根据集合与集合关系及元素与集合的关系判断即可；
【详解】解：对于A：Ü，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：Ü，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
10、A
【解析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；
②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；
③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；
④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错
正确命题个数为0个，
故选A.
【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，主要考查线面平行的判定和性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】分类讨论，时根据二次函数的性质求解
【详解】时，满足题意；
时，，解得，
综上，
故答案为：
12、
【解析】当，时，设，把点代入能求出解析式；当，时，设，把点、代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.
详解】当x∈（0，12]时，设，
过点（12，78）代入得，a
则f（x），
当x∈(12，40]时，
设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）
得，即，
由题意得，或
得4＜x≤12或12＜x＜28，
所以4＜x＜28，
则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，
故答案为：（4，28）
【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档题
13、 ①-2 ②.
【解析】先计算出f(1)，再根据给定的分段函数即可计算得解；令f(x)=t，结合二次函数f(x)性质，的图象，利用数形结合思想即可求解作答.
【详解】(1)依题意，，则，
所以；
(2)函数的值域是，令，则方程在有两个不等实根，
方程化为，因此，方程有4个实数根，等价于方程在有两个不等实根，
即函数的图象与直线有两个不同的公共点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，而，如图，

观察图象得，当时，函数与直线有两个不同公共点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：-2；
14、
【解析】根据三角函数性质，列方程求出，得到，
进而得到，利用换元法，
即可求出的值域
【详解】根据三角函数性质，的最大值为，最小值为，
解得，则函数，
则函数
，，令，则，
令，由得，，
所以，的值域为
故答案为：
【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后，利用换元法得出，，进而求出的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题
15、1
【解析】首先确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可.
【详解】令可得，此时，
据此可知点A的坐标为，
点在函数的图像上，故，解得：，
函数的解析式为，则.
【点睛】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.
16、
【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得m值
【详解】点角终边上一点，
，则，
故答案为
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）；（II）.
【解析】（Ⅰ）由偶函数在时递减，时递增，即可判断（2）和的大小关系；
（Ⅱ）由题意可得在时有且只有一个实根，可得在时有且只有一个实根，可令，则，求得导数判断单调性，计算可得所求范围
【详解】解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=-，
可得f（x）在x＜0时递减，x＞0时递增，
由f（-3）=f（3），可得f（2）＜f（3），
即有f（2）＜f（-3）；
（Ⅱ）设g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），
若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，
即为2（1-3a）ex+2a+=-在x＞0时有且只有一个实根，
可得3a=在x＞0时有且只有一个实根，
可令t=ex（t＞1），则h（t）=，
h′（t）=，在t＞1时，h′（t）＜0，h（t）递减，
可得h（t）∈（0，），
则3a∈（0，），即a∈（0，）
另解：令t=ex（t＞1），则h（t）==1+，
可令k=4t+7（k＞11），
可得h（t）=1+，由3k+在k＞11递增，
可得h（t）在k＞11递减，可得h（t）∈（0，），
则3a∈（0，），即a∈（0，）
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

18、（1）
（2）
【解析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
为指数函数，
，解得：，
.
【小问2详解】
由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
19、（1），
（2）
【解析】（1）解出集合，利用并集、补集以及交集的定义可求得结果；
（2）由已知条件可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，或，
所以，，.
【小问2详解】
解：因为，所以或，解得或，
所以的取值范围为.
20、（1）
（2）时，，时，
【解析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；
（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.
【小问1详解】
由图知，，
，即，
得，所以，
又，所以， ,
即，由得，
所以.
【小问2详解】
由得，
所以当，即时，，
当，即时，.
21、（1）详见解析；
（2）详见解析.
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；
（2）设，由题可得EF∥GB，再利用线面平行的判定定理可证.
【小问1详解】
由正方体的性质，可得，平面，
∴，又，
∴平面；
【小问2详解】
设，连接，

则
∴，
∴四边形BFEG为平行四边形，
∴EF∥GB，又平面，平面，
∴平面