安徽省肥东第二中学2026届高二数学第一学期期末经典试题含解析.doc

安徽省肥东第二中学2026届高二数学第一学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）

A. B.
C. D.
2．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
3．等轴双曲线渐近线是（）
A. B.
C. D.
4．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）
A. B.
C. D.
5．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
7．已知平面的一个法向量为=（2，－2，4），=（－1，1，－2），则AB所在直线l与平面的位置关系为（　　）
A.l⊥ B.
C.l与相交但不垂直 D.l∥
8．命题“，”的否定是（）
A.， B.，
C， D.，
9．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
10．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（）
A.28 B.26
C.28或-12 D.26或-10
11．已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知向量，则（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知.若在定义域内单调递增，则实数的取值范围为______ .
14．命题“x≥1，x2 -2x+4≥0”的否定为____________.
15．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________
16．已知命题：，总有．则为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求B
（2）___________，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（12分）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，
（1）求{}的通项公式：
（2）设，数列的前n项和为，求
19．（12分）设：实数满足，：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值
21．（12分）已知数列的前项和为，且，
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值
22．（10分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.

（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？
（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可
【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是
故选：C
2、C
【解析】根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以的最小值为.
故选：C.
3、A
【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.
【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；
若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.
综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
4、D
【解析】设椭圆的方程为，根据题意得到和，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，
因为椭圆C的离心率为，可得，
又由，即，解得，
又因为椭圆的面积为，可得，即，
联立方程组，解答，所以椭圆方程为.
故选：D.
5、B
【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意，，所以，，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
6、D
【解析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
7、A
【解析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系
【详解】因为，所以，所以
故选：A
8、D
【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可
【详解】命题“，”的否定是：，，
故选：D.
9、C
【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，
所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，
所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，
故选：C.
10、C
【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.
【详解】由可得，即，所以，
又，解得，
所以，即，
当时，，所以，
当时，，所以，
故选：C
11、B
【解析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围.
【详解】的圆心为,半径，
的圆心为,半径，
圆心距，
∴两圆相离，
∴，
故选：B.
12、A
【解析】利用空间向量的模公式求解.
【详解】因向量，
所以，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】将问题转化为在上恒成立，再分离参数转化为求函数的最值问题即可得到实数的取值范围
【详解】因为，
所以；
因为在内单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以.
故答案为：
14、
【解析】根据还有一个量词的命题的否定的方法解答即可.
【详解】命题“x≥1，x2 -2x+4≥0”的否定为“”.
故答案为：.
15、4x＋3y－6＝0
【解析】直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程
【详解】由方程组可得P（0，2）
∵l⊥l3，∴kl=﹣，
∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，
即4x＋3y－6＝0
故答案为：4x＋3y－6＝0
16、，使得
【解析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】解：因为命题，总有，
所以的否定为：，使得
故答案为，使得
【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；
（2）选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解.
【小问1详解】
由，可得，则.
∴，
在中，，
则，∵，∴，∴，∵，∴.
【小问2详解】
选择条件①
，在中，，可得，
∵，∴，
∴，
根据辅助角公式，可得，
∵，∴，即，
故
选择条件②
由，得，
∵，∴，因此，，
整理得，即，则.
在中，，∴.
故.
选择条件③
由，得，
即，
整理得，
由于，则方程无解，故不存在这样的三角形.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；
（2）根据（1）的结果，求出的表达式，利用裂项求和的方法求得答案.
小问1详解】
设等差数列{}的公差为d，
则,
整理可得：，∵d是整数，解得，
从而，
所以数列{}的通项公式为：;
【小问2详解】
由（1）知，，

所以
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；
（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可
【小问1详解】
当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为
若为真，则，解得实数x的取值范围为
【小问2详解】
若p是q的必要不充分条件，则且
设，，则，又
由，得，因为，则，有，解得
因此a的取值范围为
20、（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，化简得到，代入计算得到答案.
【小问1详解】
椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为，
故，，故椭圆方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
则，即，，
以为直径的圆经过原点，故，
即，即，
化简整理得到：，
原点到直线的距离为.
当直线斜率不存在时，为等腰直角三角形，设，则，
解得，即直线方程为，到原点的距离为.
综上所述：原点到直线的距离为定值.
【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将圆过原点转化为是解题的关键.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由可求得的值，由可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，所以，.
当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，.
【小问2详解】
解：，
所以，当或时，取得最小值，且最小值为.
22、 (1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2) 该公司平均每天的利润有1000元．(3).
【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.
（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.
（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.
【详解】（1）每天包裹数量的平均数为
；
或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，
所以每天包裹数量的平均数为
设中位数为x，易知，则，解得x=260.
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.
（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，
所以该公司平均每天的利润有1000元
（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），
礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，
故E和F的重量数分别有，，，，共5种，
对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）
故所求概率为.
【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题.