山东省青岛市58中2025-2026学年高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

山东省青岛市58中2025-2026学年高二数学第一学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）

A. B.
C. D.
2．已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
3．等轴双曲线渐近线是（）
A. B.
C. D.
4．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
5．设双曲线（）的焦距为12，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
6．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A B.5
C. D.7
7．椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知空间向量，，若，则实数的值是（）
A. B.0
C.1 D.2
9．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
10．已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为（）.
A.7 B.8
C.9 D.10
11．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A. B.1
C. D.2
12．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）

A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大
C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线:x-2y+1=0与直线:2x+my-1=0相互垂直，则实数m的值为________.
14．函数，其导函数为函数，则__________
15．命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.
16．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC
（1）求B；
（2）若a=2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长
18．（12分）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.

（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，求证：为定值.
19．（12分）已知，p：，q：
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围
20．（12分）已知函数.
（1）求的导数；
（2）求函数的图象在点处的切线方程.
21．（12分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为
（1）求的方程；
（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k
22．（10分）已知抛物线的准线方程是.
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值
【详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，
设双曲线的方程为：
最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）
故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），
化简后得，解得
故选：C

2、D
【解析】按空间向量的坐标运算法则运算即可.
【详解】

.
故选：D.
3、A
【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.
【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；
若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.
综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
4、C
【解析】由空间向量共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.
【详解】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】共面定理的应用：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组使得，说明：若，则四点共面.
5、B
【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.
【详解】因为可化为，
所以，则.
故选：B.
【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.
6、D
【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以方程的根为，
所以，得，
所以，
故选：D
7、A
【解析】求得抛物线的焦点从而求得，再结合题意求得，即可写出椭圆方程.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，故可得；
又短轴长为2，故可得，即；
故椭圆方程为：.
故选：.
8、C
【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，因此有.
故选：C
9、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
10、C
【解析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得，可得出
，利用A、P、M三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】∵是双曲线的左焦点，
∴，，，，
设双曲线的右焦点为M，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为9.
故选：C.

【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
11、B
【解析】利用余弦定理即得
【详解】由余弦定理，得，
解得AC=1
故选：B.
12、C
【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则
，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.
【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，
则，
所以，
，
设平面AMN的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，
，
对于A，B选项，令d =0，则
，
显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；
对于C，D，

对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
过作，垂足为，
当在下方时，，
设，则对于给定的，为定值，
此时设二面角为，二面角为，
则二面角为，且，
故，
而，故即，
当时，为减函数，故为增函数，
当时，为增函数，故为减函数，
故先增后减，故D错误.
当在上方时，，
则对于给定的，为定值，则有二面角为，
且，
因，故为增函数，故为减函数，
综上，对于给定的，随的增大而减少，

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】由两条直线垂直可知，进而解得答案即可.
【详解】因为两条直线垂直，所以.
故答案为：1.
14、
【解析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.
详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
15、
【解析】分离常数，将问题转化求函数最值问题.
【详解】任意，恒成立恒成立，故只需，记，，易知，所以.
故答案为：
16、##
【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知

∴
∴.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.
（2）利用正弦定理求得，由列方程来求得.
【小问1详解】
，
由正弦定理得，
因为，所以，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
由正弦定理：得，
，
或（舍去），
，
，所以由得，
，

18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出的直线方程，结合椭圆方程可求的坐标，从而可求的直线方程；
（2）设，直线（或），则可用两点的坐标表示或，联立直线的方程和椭圆的方程，消元后利用韦达定理可化简前者从而得到要证明的结论
【详解】（1）若B为椭圆的上顶点，则.
又过点，故直线
由可得，解得即点，
又，故直线；
（2）设，
方法一：
设直线，代入椭圆方程可得：
所以，
故
，
又均不为0，故，即为定值
方法二：
设直线，代入椭圆方程可得：
所以
所以，即，
所以，
即为定值
方法三：
设直线，代入椭圆方程可得：
所以，
所以
所以，
把代入得
方法四：
设直线，代入椭圆的方程可得，
则
所以.
因为，
代入得.
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
19、（1）（2）或
【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；
（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于 与一真一假，分两种情况列式可得结果.
【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，
所以，所以，解得.
（2），当时，，
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假，
当真时，假，所以，此不等式组无解；
当真时，假，所以，解得或.
综上所述：实数x的取值范围是或.
【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.
(2)求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【小问1详解】
函数定义域为，
所以函数.
【小问2详解】
由(1)知，，而，于是得，即，
所以函数的图象在点处的切线方程是.
21、（1）
（2）或k=1.
【解析】（1）根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点，结合椭圆短轴长，可求得椭圆标准方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立，整理得，从而得到根与系数的关系式，然后求出弦长以及到直线PQ的距离，进而表示出，由题意得关于k的方程，解得答案.
【小问1详解】
双曲线即，
故双曲线交点坐标为 ，
由此可知椭圆焦点也为，
又的短轴长为，故 ，
所以 ，
故椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
联立 ，整理得： ，
其 ，
设 ，则 ，
所以
= ，
点到直线PQ的距离为 ，
所以
= ，
又的面积为，则=，
解得或k=1.
22、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON
试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以 抛物线的方程为.
（Ⅱ）证明：设，.
将代入，
消去整理得 .
所以 .
由，，两式相乘，得 ，
注意到，异号，所以 .
所以直线与直线的斜率之积为，
即 .
考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程