2025年四川省华蓥一中高一数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2025年四川省华蓥一中高一数学第一学期期末检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是
A. B.
C. D.
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A.平均数＝第60百分位数＞众数 B.平均数＜第60百分位数＝众数
C.第60百分位数＝众数＜平均数 D.平均数＝第60百分位数＝众数
3．设，则等于
A. B.
C. D.
4．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
5．设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．下列选项中，与的值不相等的是（ ）
A B.cos18°cos42°﹣sin18°sin42°
C. D.
7．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．下列运算中，正确的是（）
A. B.
C. D.
9．命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
10．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是________.
12．已知函数满足下列四个条件中的三个：①函数是奇函数；②函数在区间上单调递增；③；④在y轴右侧函数的图象位于直线上方，写出一个符合要求的函数________________________.
13．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________
14．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．
15．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
16．若，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
（2）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A.5 B.7 C.10
（参考数据：，，，，）
18．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数
（Ⅰ）求实数值；
（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
19．已知正方体ABCD-的棱长为2.

（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：.
20．在四面体B-ACD中，是正三角形，是直角三角形，，.

（1）证明:;
（2）若E是BD的中点，求二面角的大小.
21．已知函数是二次函数，，
（1）求的解析式；
（2）解不等式
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.
故选A
2、B
【解析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】解：平均数为，
，第5个数50即为第60百分位数.
又众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选：B.
3、D
【解析】由题意结合指数对数互化确定的值即可.
【详解】由题意可得：，则.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查对数与指数的互化，对数的运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
5、A
【解析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.
【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，

又时，值域为；时，值域为，
所以的值域为时有两个解，
令，则，
若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，
要使也一一对应，则，，任意，即，
因为，
所以不等式等价于，即，
因，所以，所以，又，
所以正实数的取值范围为.
故选：A.
6、C
【解析】先计算的值，再逐项计算各项的值，从而可得正确的选项．
【详解】．
对于A，因为，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，，故C错误．
对于D，，故D正确．
故选：C．
7、C
【解析】根据已知条件逐个分析判断
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，
对于C，因为，，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：C
8、C
【解析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
9、D
【解析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.
【详解】命题“”为全称命题，
按照改量词否结论的法则，
所以否定为：，
故选：D
10、C
【解析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.
【详解】
函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，
当时，函数取最小值2，
令，则，或，
若函数在上的最大值为3，最小值为2，
则，
故答案为：.
12、
【解析】满足①②④的一个函数为，根据奇偶性以及单调性，结合反比例函数的性质证明①②④.
【详解】满足①②④
对于①，函数的定义域为关于原点对称，且，即为奇函数；
对于②，任取，且

因为，所以，
即函数在区间上单调递增；
对于④，令，当时，，即在y轴右侧函数的图象位于直线上方
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性以及单调性.
13、
【解析】由复合函数同增异减得单调减区间为的单调减区间，且，解得
故函数的单调递减区间为
14、
【解析】分别计算出的长度,然后结合二面角的求法,找出二面角,即可.
【详解】
结合题意可知,
所以,而发现
所以,结合二面角找法:如果两平面内两直线
分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故
为所求的二面角,为
【点睛】本道题目考查了二面角的求法,寻求二面角方法:两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角
15、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
16、
【解析】根据指对互化，指数幂的运算性质，以及指数函数的单调性即可解出
【详解】由得，即，解得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）大约冷却分钟，理由见解析.
【解析】（1）根据求得冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，结合对数运算求得.
（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.
【小问1详解】
依题意，，，
，，
，.
，依题意，
则.
若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，
则
若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，

若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，

所以.
【小问2详解】
结合（1）可知：，
依题意，
.
所以大约冷却分钟.
18、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.
【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；
（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，
即，故恒成立，
因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，
而，所以
（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下
设任意，且，则
，因为，所以，且；
所以，即，即；
故函数在上递增
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，
即对任意的恒成立，
则，得到，故，
所以不存在
【点睛】本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）将问题转化为求即可；
（2）根据线面垂直证明线线垂直.
【小问1详解】
在正方体ABCD-中，易知⊥平面ABD，
∴.
【小问2详解】
证明：在正方体中，易知，
∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.
又∵，、平面，∴BD⊥平面.
又平面，∴
20、（1）证明见解析（2）
【解析】（1）取AC的中点F,连接DF,BF,由等腰三角形的性质,先证平面BFD,再证；
（2）连接FE,由（1）可得,,则即为二面角的平面角,进而求解即可
【详解】（1）取AC的中点F,连接DF,BF,

是正三角形,
,
又是直角三角形,且,
,
又,平面BFD,平面BFD,
平面BFD,
又平面BFD,
.
（2）连接FE,

由（1）平面BFD,平面BFD,平面BFD,
,,
即为二面角的平面角,
设,则,
,,
在中,,
,即是直角三角形,
∴,
故为正三角形,∴,
∴二面角的大小为.
【点睛】本题考查线线垂直的证明,考查几何法求二面角,考查运算能力
21、（1）
（2）
【解析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【小问1详解】
由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因，即
所以得
所以
【小问2详解】
因为所以
化为，即或
不等式的解集为