陕西省西安市西电附中2025-2026学年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

陕西省西安市西电附中2025-2026学年高二数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（ ）
A.1 B.e
C.－1 D.
2．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）
A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点
C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交
3．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（ ）
A
B
C
A.3种 B.6种
C.12种 D.27种
4．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
5．已知，则（）
A. B.
C. D.
6．倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0
C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0
7．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则（）
A.8 B.7
C.6 D.5
9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()
A. B.
C.或 D.或
10．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
11．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（）
A. B.
C. D.1
12．已知为等差数列，为公差，若成等比数列，且，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线：，斜率为的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为，则E的离心率为___________

14．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.
15．已知圆柱轴截面是边长为4的正方形，则圆柱的侧面积为______________ .
16．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
18．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由
19．（12分）2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：
后天剩菜剩饭的重量为：
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）
20．（12分）如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）设，菱形的面积为，求二面角的余弦值.
21．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点

（1）求证：平面；
（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值
22．（10分）已知三角形的三个顶点是，，
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.
【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，
所以，
所以切点为，切线的斜率为.
故选：D
2、B
【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.
A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；
B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；
C：平面内不存在与a平行的直线，错误，
当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；
D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.
故选：B
3、C
【解析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.
【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法：
用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法，
由分类加法计数原理得(种)，
所以不同的涂法有12种.
故选：C
4、A
【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
【详解】解：若，且，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上命题为假命题，则为真命题，
在中，若，则，
由正弦定理得，
所以命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，，，为假命题.
故选：A.
5、C
【解析】取中间值，化成同底利用单调性比较可得.
【详解】,，，故，
故选：C
6、B
【解析】由题意，，所以，即，故选B
7、B
【解析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件
故选：B
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程
8、C
【解析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点F的弦PQ为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段的长.
【详解】抛物线的焦点F，准线
取PQ中点H，分别过P、Q 、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E

则四边形为直角梯形，为梯形中位线，
由抛物线定义可知， ,，则
故，即点H到抛物线准线的距离为的一半，
则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.又以线段PQ为直径的圆与直线相切，
则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线与直线间的距离.
即
故选：C
9、D
【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
10、D
【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.
【详解】根据题意，令，其中，则，
∵，∴，
∴在上为单调递减函数，
∴，即，，则错误；
，即，则错误；
，即，则错误；
，即，则正确；
故选：.
11、C
【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】由题意可知，圆心，半径为，
所以圆心到的距离为，
所以的最小值为.
故选：C.
12、C
【解析】先利用已知条件得到，解出公差，得到通项公式，再代入数列，利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为成等比数列，，故，即，
故，解得或（舍去），
故，
即，故的前项和为：.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分别设线段的中点，线段的中点，再利用点差法可表示出，由平行关系易知三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入整理可得到关系，利用双曲线得到关于的齐次方程，进而求得离心率.
【详解】设，，线段的中点
，两式相减得：
…①
设，，线段的中点
同理可得：…②
，易知三点共线
，将①②代入得：，所以，即，由题意可得
，故 .∴，即

故答案为：
14、 ①. ②.
【解析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.

.
故答案为： ；
15、
【解析】由圆柱轴截面的性质知：圆柱体的高为，底面半径为，根据圆柱体的侧面积公式，即可求其侧面积.
【详解】由圆柱的轴截面是边长为4的正方形，
∴圆柱体的高为，底面半径为，
∴圆柱的侧面积为.
故答案为：.
16、
【解析】将展开图还原成正方体，通过建系利用空间向量的知识求解.
【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，.
则.
设平面的法向量为，由令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
【小问1详解】
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
【小问2详解】
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
18、（1），；
（2）过，.
【解析】（1）根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解判断即可.
【小问1详解】
设圆E的圆心为，半径为r，
则，，所以
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；
【小问2详解】
设，，直线l的方程为
由得，且，
故又，所以
又，，
所以

，
即．又故或
若，则直线l的方程为，
过点，与题意矛盾，所以，故，
所以直线l的方程为，过点
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
19、（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；
（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；
（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.
【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，
所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），
则抽出两人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）
共15个基本事件，
其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.
记抽出两人都是高二学生为事件，则，
所以高二学生都在同一组的概率是.
（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5<23.5，
所以宣传节约粮食活动的效果很好.
法二：（茎叶图）画出茎叶图

因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理，即可得证；
（2）根据题意，求得菱形的边长，取中点，可证，如图建系，求得点坐标及坐标，即可求得平面的法向量，根据平面PAD，可求得面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】（1）连接交于点，连接，
则、E分别为、的中点，所以，
又平面平面
所以平面

（2）由菱形的面积为，，易得菱形边长为，
取中点，连接，因为，所以，
以点为原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.

则
所以
设平面的法向量，由
得，令，则
所以一个法向量，
因为，，所以平面PAD，
所以平面的一个法向量
所以，
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
解法1：
如图，连接交于点O，连接OD，

因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，
因为D为BC的中点，所以在中，，
因为平面，平面，所以平面平面
解法2：
因为在三棱柱中，面ABC，，
所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

因为，
所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，

∴，平面，所以平面；
【小问2详解】
设与平面所成角为，
由(1)知平面法向量为，
F为中点，∴，，
∴
即与平面所成角正弦值为.
22、（1）；（2）
【解析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；
（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.
【详解】（1）设线段的中点为
因为，，
所以的中点，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即
（2）因为，，
所以边所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
即
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.