2026届河南省信阳市息县一中高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2026届河南省信阳市息县一中高二数学第一学期期末经典模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A.72元 B.300元
C.512元 D.816元
2．早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（　　）
A. B.
C. D.
3．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）
A. B.
C. D.
4．已知命题对任意，总有；
是方程的根
则下列命题为真命题的是
A. B.
C. D.
5．已知1与5的等差中项是，又1，，，8成等比数列，公比为，则的值为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.6
6． “五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去两安，一人去云南.回来后，三人对去向作了如下陈述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事实是甲、乙、丙三人陈述都只对了一半(关于去向的地点仅对一个).根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（）
A.甲去了西安 B.乙去了北京
C.丙去了西安 D.甲去了云南
7．已知数列满足且，则（）
A.是等差数列 B.是等比数列
C.是等比数列 D.是等比数列
8．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）
A. B.
C. D.
9．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A 4尺 B.8.5尺
C.16.1尺 D.18.1尺
10．如果，，那么直线不经过的象限是（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11．在x轴与y轴上截距分别为，2的直线的倾斜角为（）
A.45° B.135°
C.90° D.180°
12．直线的倾斜角为（ ）
A.0 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）

14．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)
15．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______
16．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高_______米.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆，点
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率
18．（12分）已知，对于有限集，令表示集合中元素的个数．例如：当时，，
（1）当时，请直接写出集合的子集的个数；
（2）当时，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求满足条件的有序集合对的个数；
（3）假设存在集合、具有以下性质：将1，1，2，2，··，，．这个整数按某种次序排成一列，使得在这个序列中，对于任意，与之间恰好排列个整数．证明：是4的倍数
19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）
（1）求抛物线的标准方程；
（2）点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点
20．（12分）已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程
22．（10分）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价
【详解】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元
故选：D
2、B
【解析】记椭圆的右焦点为，根据椭圆定义，得到，由题中条件，确定本题的本质即是求的最小值，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】记椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义可得，，
所以，
因为，当且仅当三点共线时，，即；
由题意可得，求的值，即是求最短路径，即求的最小值，
所以的最小值为，
因此.

故选：B.
【点睛】思路点睛：
求解椭圆上动点到一焦点和一定点距离和的最小值或差的最大值时，一般需要利用椭圆的定义，将问题转化为动点与另一焦点以及该定点距离和的最值问题来求解即可.
3、A
【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.
【详解】由椭圆的对称性可知，,
所以，
又椭圆方程为，所以，解得，
所以，
故选：A
4、A
【解析】由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A
5、A
【解析】由等差中项的概念列式求得值，再由等比数列的通项公式列式求解，则答案可求.
【详解】由题意，，则；
又1，，，8成等比数列，公比为，
，即,
,
故选：.
6、D
【解析】根据题意，先假设甲去了北京正确，则可分析其他人的陈述是否符合题意，再假设乙去西安正确，分析其他人的陈述是否符合题意，即可得答案.
【详解】由题意得，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半，
假设甲去了北京正确，
对于甲的陈述：则乙去西安错误，则乙去了云南；
对于乙的陈述：甲去了西安错误，则丙去了北京正确；
对于丙的陈述：甲去了云南错误，乙去了北京也错误，故假设错误.
假设乙去了西安正确，
对于甲的陈述：则甲去了北京错误，则甲去了云南；
对于乙的陈述：甲去了西安错误，则丙去了北京正确；
对于丙的陈述：甲去了云南正确，乙去了北京错误，
此种假设满足题意，故甲去了云南.
故选：D
7、D
【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.
【详解】由，可得，所以，
又由，，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，，，
，所以不是等差数列；
不等于常数，所以不是等比数列.
故选：D.
8、C
【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路程为，组成以为首项，公比为的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为，所以经过的总路程是.
故答案为：C.
9、C
【解析】设等差数列，用基本量代换列方程组，即可求解.
【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，
则有，即，解得：，
即冬至的日影长为16.1尺.
故选：C
10、A
【解析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.
【详解】由题设，直线可写成，又，，
∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.
故选：A.
11、A
【解析】按照斜率公式计算斜率，即可求得倾斜角.
【详解】由题意直线过，设直线斜率为，倾斜角为，
则，故.
故选：A.
12、D
【解析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题的斜率，故倾斜角的正切值为，
又，故.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】建立空间直角坐标系，求出异面直线与的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线与所成角的大小
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：

在长方体中，
，，
，，，，
，，
，
异面直线与所成角的大小是
故答案为：
14、
【解析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.
【详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.
故答案为：
15、 ①. ②.l
【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；
【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为
故P到坐标原点的距离的最小值为
故答案为：；；
16、
【解析】利用正弦定理可求出各个三角形的边长，进而求出山高.
【详解】解：在中，，，，可得

在中，，
所以
由正弦定理可得：
即，得
在直角中，
所以
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）最大值为2，
【解析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；
（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值
【详解】解：（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，
设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率
【点睛】易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，考查运算求解能力，是中档题.
18、（1）8（2）454
（3）证明见详解
【解析】（1）n元集合的直接个数为可得；
（2）由已知结合可得，或，然后可得集合的包含关系可解；
（3）根据每两个相同整数之间的整数个数之和与总的数字个数之间的关系可证.
【小问1详解】
当时，集合的子集个数为
【小问2详解】
易知，又，
所以，即，
得，或，所以或
1）若，则满足条件的集合对共有
，
2）若，同理，满足条件集合对共有243
3）当A=B时，满足条件的集合对共有
所以，满足条件集合对共243+243-32=454个.
【小问3详解】
记，则1，1，2，2，··，，共2n个正整数，
将这2n个正整数按照要求排列时，需在1和1中间放入1个数，在2和2中间放入2个数，…，在n和n中间放入n个数，共放入了个数，由于排列完成后共有2n个数，且1，1，2，2，··，，刚好放完，所以放入数字个数必为偶数，即Z，所以，Z，所以是4的倍数
19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由点在抛物线上可得出，再利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）设点、，利用斜率公式结合已知条件可得出的值，分析可知直线不与轴垂直，可设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：抛物线的焦点为，由已知可得，则，
，，解得，
因此，抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：设点、，则，可得.
若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，可得，此时，合乎题意.
所以，直线的方程为，故直线恒过定点.
20、（1），；
（2）.
【解析】(1)根据，列方程组即可求解数列的通项公式，根据可求数列的通项公式；
(2)化简，利用裂项相消法求该数列前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，
∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
.
21、（1）；（2）或
【解析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出，，即可求椭圆的方程；（2）设直线方程为，代入椭圆方程，由得，利用韦达定理，化简可得，求出，即可求直线的方程.
试题解析：（1）设椭圆方程为，因为 ，所以 ，所求椭圆方程为.
（2）由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1，则由得，且．设，则由得，又，所以消去得，解得，，所以直线的方程为，即或.
22、（1），；（2），.
【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，
依题意有，
由，又，
解得，
∴，
即，
；
（2）∵，
∴前项和

.
∴前项和，.