2025年四川省资阳市高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年四川省资阳市高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
3．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．在正方体中，与直线和都垂直，则直线与的关系是（ ）

A.异面 B.平行
C.垂直不相交 D.垂直且相交
5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A. B.2
C. D.
6．已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确是（）
A. B.
C. D.
7．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）
A.5 B.3
C.4 D.2
8．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）

A. B.
C. D.
9．命题“”的一个充要条件是（）
A. B.
C. D.
10．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）

A. B.
C. D.
11．已知数列满足，且，那么（ ）
A. B.
C. D.
12．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若p：存在，使是真命题，则实数a的取值范围是______
14．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________
15．拋物线的焦点坐标为___________.
16．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）已知圆O：与圆C：
（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答
若______，判断这两个圆的位置关系；
（2）若，求直线被圆C截得的弦长
注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分
19．（12分）设函数
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值
20．（12分）已知圆C经过、两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）若直线经过点且与圆C相切，求直线的方程
21．（12分）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
22．（10分）如图①，等腰梯形中，，分别为的中点，，现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中：

（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.

故选：B
2、C
【解析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.
【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，，
设平面PEF的法向量，
则，取，得，
设PB与平面PEF所成角为，
则，
∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.
故选：C.

3、A
【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，
，
所以为直径的圆的圆心为，半径为.
直线的方程为，
由于以线段为直径的圆与相交，
所以，，
，
，
，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
4、B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算可得，根据共线定理即可判断.
【详解】设正方体的棱长为1.
以为坐标原点，所在直线
分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则.
设，则，取.
，
.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.
5、A
【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
6、A
【解析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.
【详解】设，则，
∵，
∴，
∴ 函数在上为增函数，
∵ ，∴，故，所以，C错，
令()，则，
当时，，当时，
∴ 函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，∴ ，
∴ ，即，
∴ ，故，所以，D错，
，故，所以，A对，
，故，所以，B错，
故选：A.
7、B
【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.
【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.
故选：B.
8、C
【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】
故选：C
9、D
【解析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A.当时，满足，推不出，故不充分；
B.当时，满足，推不出，故不充分；
C.当时，推不出，故不必要；
D.因为，故充要，
故选：D
10、B
【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.
【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.

因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.
故选：B.
11、D
【解析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.
【详解】解：由，得，，
又，那么
故选：D
12、B
【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】将问题分离参数得到存在，使成立，可得结论.
【详解】存在，使，即存在，使，所以
故答案为：
14、
【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
15、
【解析】化成抛物线的标准方程即可.
【详解】由题意知， ，则焦点坐标为 .
故答案为：
16、-1
【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.
【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，
由两式相减得：，
而，于是得，即，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由，，成等比数列和，可得，解方程求出，从而可求出的通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求出
【小问1详解】
因为等差数列的公差为2，
所以
又因为成等比数列，
所以，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
18、（1）选①:外离；选②：相切;
（2）
【解析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；
(2)根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.
【小问1详解】
选①
圆O的圆心为，半径为l；
圆C的圆心为，半径为
因为两圆的圆心距为，
且两圆的半径之和为，所以两圆外离
选②
圆O的圆心为，半径为1．圆C的圆心为，半径为2
因为两圆的圆心距为．且两圆的半径之和为，
所以两圆外切
【小问2详解】
因为点C到直线的距离，
所以直线被圆C截得的弦长为
19、（1）
（2），
【解析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值
【小问1详解】
，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
，
因为，所以与同号，
令则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则，
故，在单调递增，
所以，
20、（１） ；（２）
【解析】（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出的值.
试题解析：（1）依题意知线段的中点坐标是，直线的斜率为，
故线段的中垂线方程是即，
解方程组得，即圆心的坐标为，
圆的半径，故圆的方程是
（2）若直线斜率不存在，则直线方程是，与圆相离，不合题意；若直线斜率存在，可设直线方程是，即，因为直线与圆相切，所以有，
解得或
所以直线的方程是或.
21、（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】（1）研究当时的导数的符号即可讨论得到的单调性；
（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.
【小问1详解】
当时，，
令，则，所以在上单调递增.
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，且.
①当时，由（1）可知当时，所以在上单调递增，则，符合题意.
②当时，，不符合题意，舍去.
③当时，令，则，
则，，当时，，所以在上单调递减，
当时，，不符合题意，舍去.
综上，a的取值范围为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用
22、（1）证明见解析.
（2）2
【解析】（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明；
（2）将所求四棱锥的体积转化为求即可.
【小问1详解】
证明：因为，面，面，
所以面，
同理面，
又因为面,
所以面面.
【小问2详解】
解：因为在图①等腰梯形中，分别为的中点，
所以，
在图②多面体中，因为，面，，
所以面.
因为，面面，面，面面,
所以面，
又因为面，
所以，
在直角三角形中，因为,所以，
同理，，
所以，
则，有，
所以.
所以四棱锥的体积为2.