陕西省商洛市洛南县2025-2026学年高二数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc

陕西省商洛市洛南县2025-2026学年高二数学第一学期期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X，Y满足，，且，则的值为（）
A.0.2 B.0.3
C.0..5 D.0.6
2．抛物线的焦点到准线的距离是
A.2 B.4
C. D.
3．设等比数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，为的导数，则（ ）
A.-1 B.1
C. D.
5．用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）
A. B.
C. D.
6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案，以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆，阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（）

A. B.
C. D.
7．已知数列满足，在任意相邻两项与 (k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）
A.162 B.163
C.164 D.165
8．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）
A. B.
C. D.
9．积分（ ）
A. B.
C. D.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
11．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.

A.192 B.128
C.3 D.1
12．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A、B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.
14．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.

15．记为等差数列{}的前n项和，若，，则=_________.
16．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且，则抛物线C的准线方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值
18．（12分）已知正项数列的首项为，且满足，
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，△ABC的面积为 ， 求a+c的值
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知c•cosB+（b-2a）cosC=0
（1）求角C的大小
（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积
21．（12分）在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与交于两点，为何值时？
22．（10分）已知函数
（1）求在点处的切线方程
（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用正态分布的计算公式：，

【详解】且

又

故选：D
2、D
【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.
3、C
【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
4、B
【解析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论
【详解】解：由题意，，所以.
故选：B
5、C
【解析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可
【详解】从到成立时，左边增加的项为，
因此增加的项数是，
故选：C
6、D
【解析】求得阴影部分的面积，结合几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】设正六边形的边长为，则其面积为.
阴影部分面积为，
故所求概率为.
故选：D
7、C
【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.
【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故
故选：C
8、C
【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.
【详解】设直角边长，斜边，
则线段的长度大于的长度的概率.
故选：C
9、B
【解析】根据定积分的几何意义求值即可.
【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，
所以.
故选：B
10、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
11、A
【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.
【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以，解得，
所以这个塔的最底层有盏灯.
故选：A.
12、D
【解析】根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.
【详解】圆的圆心是，
所以椭圆的一个焦点是，即c=3，
又椭圆的短轴长为8，即b=4，
所以椭圆长半轴长为，
所以椭圆的左顶点为，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果
详解】解：抛物线的准线方程为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
设点，，，，的中点为，，
则，，
两式相减得，
即，
又因为，两点关于直线对称，
所以，
解得，可得，
则，
故答案为：5
14、
【解析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.
【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为平面，所以，，
于是有，
底面为矩形，所以有，
，因为平面，所以，
于是有：，
由余弦定理可知：，
所以，
因此，
，
因为，
所以，
故答案为：

15、18
【解析】根据等差数列通项和前n项和公式即可得到结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以
故答案为：18
16、
【解析】将直线与抛物线联立结合抛物线的定义即可求解.
【详解】解：直线与抛物线相交于A，B两点
设，
直线与抛物线联立得：

所以
所以

即
解得：
所以抛物线C的准线方程为：.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），
【解析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值
【小问1详解】
，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
，
因为，所以与同号，
令则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则，
故，在单调递增，
所以，
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由递推关系式化简及等比数列的的定义证明即可；
（2）根据裂项相消法求解即可得解.
【小问1详解】
证明：由得，
而且，
则，
即数列为首项，公比为的等比数列
【小问2详解】
由上可知，所以，

19、（1）（2）
【解析】（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果
（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可
【详解】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），
所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB
所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB
∴cosB=﹣
∴B=
（2）由=得ac=4
由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16
∴a+c=2
【点睛】本题主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面积公式解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到
20、 (1)；(2).
【解析】(1)由题意首先利用正弦定理边化角，据此求得，则角C的大小是；
(2)由题意结合余弦定理可得，然后利用面积公式可求得△ABC的面积为.
试题解析：
（1）∵c•cosB+（b-2a）cosC=0，
由正弦定理化简可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即sinA=2sinAcosC，
∵0＜A＜π， ∴sinA≠0.∴cosC=.∵0＜C＜π， ∴C=.
（2）由（1）可知：C=.
∵c=2，a+b=ab，即a2b2=a2+b2+2ab.
由余弦定理cosC==，
∴ab=（ab）2-2ab-c2.
可得：ab=4.
那么：△ABC的面积S=absinC=.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，解出可得椭圆的标准方程
（2）设，，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得
【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，
则，，，可得椭圆的标准方程为：
（2）设，，联立，化为：，
恒成立，
，，
，，
，
解得．满足
当时，能使
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题
22、（1）
（2）2
【解析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以，所以切线的斜率，
切线过点，切线的方程为，即
【小问2详解】
解：由题知，即解得或，即或或，
直线与曲线于
则所求图形的面积