2025-2026学年福建省长汀县 新桥中学高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2025-2026学年福建省长汀县 新桥中学高二数学第一学期期末检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的最小值是（）
A.2 B.4
C.5 D.6
2．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（ ）
A 0 B.1
C.3 D.4
3．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（）
A. B.
C.6 D.7
4．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）
A. B.
C. D.且
5．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6．设，，，…，，，则（）
A. B.
C. D.
7．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）
A. B.
C. D.
8．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（ ）
A. B.2
C.3 D.
9．设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）
A.5 B.
C. D.9
10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）
A. B.
C. D.
11．在等差数列中，为其前n项和，，则（ ）
A.55 B.65
C.15 D.60
12．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线有4条对称轴；
③曲线上任意一点到原点的距离都不小于1；
④曲线所围成图形的面积大于4；
其中，所有正确结论的序号是_____
14．若，若，则______
15．设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为____________
16．已知向量、满足，，且，则与的夹角为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知动圆过点 且动圆内切于定圆： 记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若、是曲线上两点，点 满足 求直线的方程.
18．（12分）已知函数
（1）求曲线在点（e，）的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
19．（12分）已知函数在处的切线与直线平行
（1）求值，并求此切线方程；
（2）证明：
20．（12分）已知动点M到点F（0，2）的距离，与点M到直线l：y＝﹣2的距离相等.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点F且斜率为1的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度.
21．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）
22．（10分）椭圆的左、右焦点分别为，短轴的一个端点到的距离为，且椭圆过点过且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.
（1）求椭圆的方程
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）若点，求证：三点共线.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.
【详解】，
，
当且仅当时等号成立.
故选：C
2、A
【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出
【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，
所以数列的前2022项和
故选：A
3、D
【解析】设出P的纵坐标，利用抛物线的定义列出方程，求出答案.
【详解】由题意得：抛物线准线方程为，P点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设点纵坐标为，则，解得：.
故选：D
4、A
【解析】根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.
【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：，且
解得：
故选：
5、A
【解析】根据点斜式求得正确答案.
【详解】直线的斜率为，
经过点且与直线垂直的直线方程为，
即.
故选：A
6、B
【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.
【详解】，，
，，
，……，以此类推，
，所以.
故选：B
7、B
【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误
故选：B
8、D
【解析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.
【详解】若n=1，则 ，故；
若 ，则
由 得，故，
所以，，
又因为 对 恒成立，
当 时，则 恒成立，
当时， ，
所以，，
，
若n为奇数，则；
若n为偶数，则，所以
所以，对 恒成立，必须满足 .
故选：D
9、B
【解析】由双曲线的的定义可得，于是将问题转化为求的最小值，由得出答案.
【详解】设双曲线的由焦点为，且点A在双曲线的两支之间.
由双曲线的定义可得,即
所以
当且仅当三点共线时，取得等号.
故选：B

10、A
【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解
【详解】双曲线中的，
所以离心率，
因为双曲线是黄金双曲线，
所以，两边平方得，
解得或（舍去），
故选：A
11、B
【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.
故选:B
12、A
【解析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、②③④
【解析】根据曲线方程作出曲线，即可根据题意判断各结论的真假
【详解】曲线的简图如下：

根据图象以及方程可知，曲线C恰好经过9个整点,它们是，，，所以①不正确；
由图可知，曲线有4条对称轴，它们分别是轴，轴，直线和，②正确；
由图可知，曲线上任意一点到原点的距离都不小于1，③正确；
由图可知，曲线所围成图形的面积等于，④正确
故答案为：②③④
14、2
【解析】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和以及
【详解】展开式的通项为，令，则，即，
故，令，得.
又，所以
故
故答案为：
15、
【解析】根据抛物线定义求出点坐标，即可求出面积.
【详解】由题可得，设，
则由抛物线定义可得，解得，代入抛物线方程可得，
所以.
故答案为：.
16、##
【解析】根据向量数量积的计算公式即可计算.
【详解】，，.
故答案为：﹒

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知，，再设直线的方程为与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程.
【详解】（1）由已知可得，两式相加可得 则点的轨迹是以 、 为焦点， 长轴长为的椭圆，则 因此曲线的方程是
(2)因为， 则点是的重心， 易得直线的斜率存在， 设直线的方程为，

联立 消 得：

且 ①
②
由①②解得 则直线的方程为 即
【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据求得，.
18、（1）；（2）在单调递减，在单调递增
【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可
【详解】解：（1）由得，
所以切线斜率为
切点坐标为，
所以切线方程为，即；
（2），
令，得
当时，；
当时，，
∴在单调递减，在单调递增
19、（1）；；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；
（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.
【小问1详解】
，，
在处的切线与直线平行，即切线斜率为，
，解得：，，，
所求切线方程为：，即；
【小问2详解】
要证，即证；
①当时，，，，即，
；
②当时，令，
，，
当时，，，，，即，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
即在上恒成立；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.
20、（1）x2＝8y
（2）16
【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；
小问2：可知直线AB的方程为y＝x+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值.
【小问1详解】
由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以，则p＝4，
所以动点M的轨迹方程是x2＝8y；
【小问2详解】
由已知直线AB方程是y＝x+2，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得x2﹣8x﹣16＝0，，
所以x1+x2＝8，则y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝16
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.
【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p ，
所以|AB|＝2p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝4x
（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)
因为直线l与抛物线有两个交点，
所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，
则，y1y2＝-4，
所以
又点O到直线l的距离，
所以，解得，即
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题
22、（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；
（2）联立直线和椭圆的方程求出弦长和三角形的高即得解；
（3）联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理，再利用平面向量证明.
【小问1详解】
解：由题得，所以椭圆方程为，
因为椭圆过点所以，所以
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：由题得,所以直线的方程为即，
联立直线和椭圆方程得，
所以,点到直线的距离为.
所以的面积为.
【小问3详解】
解：设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，
设，所以，
由题得，，
所以，
所以
，
所以,又有公共点,
所以三点共线.