河北正定中学2026届高一数学第一学期期末统考试题含解析.doc

河北正定中学2026届高一数学第一学期期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知平面向量，，若，则实数值为（ ）
A.0 B.-3
C.1 D.-1
2．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）

A. B.
C. D.
3．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点P（-2，4），则下列不等关系正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4．设，则
A. B.
C. D.
5．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间
A. B.
C. D.
6．下列函数是偶函数且值域为的是（）
①；②；③；④
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
7．已知， ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. B.
C. D.
9．函数的最小正周期为
A. B.
C.2 D.4
10．同时掷两枚骰子，所得点数之和为的概率为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域是__________，值域是__________.
12．函数关于直线对称，设，则________.
13．函数是定义在R上的奇函数，当时，2，则在R上的解析式为________.
14．已知，若对一切实数，均有，则___.
15．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________
16．已知函数，则的单调递增区间是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.

一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
（1）写出a，b的值；
（2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小.（只需写出结论）
18．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.
（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
（2）如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？
19．已知，且是第四象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值；
20．已知，，且.
（1）求的值；
（2）求.
21．已知函数，，将图象向右平移个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式，并求在上的单调递增区间；
（2）若函数，求的周期和最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据，由求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，
解得，
故选：C.
2、B
【解析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可
【详解】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，
故选B
【点睛】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键
3、A
【解析】根据幂函数的图像经过点，可得函数解析式，然后利用函数单调性即可比较得出大小关系
【详解】因为幂函数的图像经过点，
所以，解得，
所以函数解析式为：，
易得为偶函数且在单调递减，在单调递增
A：，正确； B：，错误；
C：，错误；D：，错误
故选A
【点睛】本题考查利用待定系数法求解函数解析式，函数奇偶性和单调性的关系：奇函数在对应区间的函数单调性相同；偶函数在对应区间的函数单调性相反
4、B
【解析】因为，
所以．选B
5、B
【解析】根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B
考点：零点存在性定理
6、C
【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.
【详解】对于①，是偶函数，且值域为；
对于②，是奇函数，值域为；
对于③，是偶函数，值域为；
对于④，偶函数，且值域为，
所以符合题意的有①④
故选：C.
7、B
【解析】利用对数函数以及指数函数的性质判断即可.
【详解】∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，则
故选:.
8、C
【解析】根据指数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递减
所以，故.
故选：C
9、C
【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可
详解：由题意得函数的最小正周期为
故选C
点睛：本题考查函数的最小正周期，解答此类问题时根据公式求解即可
10、A
【解析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果.
【详解】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P=.
【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和满足条件的事件发生的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】解不等式可得出原函数的定义域，利用二次函数的基本性质可得出原函数的值域.
详解】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为，值域为.
故答案为：；.
12、1
【解析】根据正弦及余弦函数的对称性的性质可得的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心，即可求值.
【详解】∵函数f（x）的图象关于x对称
∵f（x）＝3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心
故有则1
故答案为1
【点睛】本题考查了正弦及余弦函数的性质属于基础题
13、
【解析】由是定义域在上的奇函数，根据奇函数的性质，可推得的解析式.
【详解】当时，2，即，
设，则，
，
又为奇函数， ，
所以在R上的解析式为 .
故答案为：.
14、
【解析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值.
【详解】由对一切实数，均有
可知，即解之得
则，满足
故
故答案：
15、
【解析】求出圆心到直线的距离，进而可得结果.
【详解】依题意可知圆心为，半径为1.
则圆心到直线距离，
则点直线的最大距离为.
故答案：.
16、
【解析】函数是由和复合而成，分别判断两个函数的单调性，根据复合函数的单调性同增异减即可求解.
【详解】函数是由和复合而成，
因为为单调递增函数，
对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值；
（2记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.
（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.
【小问1详解】
由题意，知，解得；
【小问2详解】
记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为.
从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：
，
，
记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是.
所以.
【小问3详解】
.
18、 (1)88.5万元 (2) 该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.
【解析】（1）先确定甲乙合作社投入量，再分别代入对应收益函数，最后求和得结果，
（2）先根据甲收益函数，分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值取法，最后比较大小确定最大值
【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：
（万元）
（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，
当时，则，.
令，得，
则总收益为，
显然当时，函数取得最大值，
即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、
当时，则，
则，
则在上单调递减，
.即此时甲、乙总收益小于87万元.
又，∴该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.
【点睛】本题考查利用分段函数模型求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
19、（1），；（2）.
【解析】（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可
（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.
【详解】解：（1），由得，
，
又是第四象限角，
，
，
，

.
（2）由（1）可知，
，
.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；
（2）先根据，，求出，再根据求解即可.
【详解】（1）∵且，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，

，
所以.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.
21、（1），增区间是
（2）周期为，最大值为.
【解析】（1）由图象平移写出的解析式，根据余弦函数的性质直接确定单调增区间.
（2）应用二倍角正弦公式可得，结合正弦型函数的性质求周期和最大值.
【小问1详解】
由题设，，而在上递减，上递增，
所以的单调增区间是.
【小问2详解】
由（1）有，
所以，最小正周期为，最大值为，此时.
综上，周期为，最大值为.