江西省奉新县第一中学2025年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

江西省奉新县第一中学2025年高一数学第一学期期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，，则
A. B.
C. D.
2．已知角的终边上一点，且，则（）
A. B.
C. D.
3．某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:
第一档水量为240立方米/户年及以下部分；
第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；
第三档水量为360立方米/户年以上部分.
家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.
第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.
小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（ ）.
A.474立方米 B.482立方米
C.520立方米 D.540立方米
4．已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A. B.2
C. D.
5．已知命题：，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
6．圆与圆的位置关系是
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
7．在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知为锐角的内角，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知，那么（）
A. B.
C. D.
9． “四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为________.

12．若，，，则的最小值为____________.
13．已知函数，则______，若，则______.
14．已知定义在上的偶函数，当时，，则________
15．设，，，则______
16．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若（且），则a的取值范围为_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，点，，在函数的图象上

（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点，满足，，求四边形OMQN面积的最大值
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
19．在中，角的对边分别为,的面积为,已知,,
（1）求值；
（2）判断的形状并求△的面积
20．已知是定义在上的奇函数，当时，
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
21．已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线
（Ⅰ）求交点的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.
B项：利用向量模的公式即可判断.
C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.
D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.
【详解】A选项：因为，，所以与不共线.
B选项：，，显然，不正确.
C选项：因为，所以，不正确；
D选项：因为，所以，正确；答案为D.
【点睛】主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.
2、B
【解析】由三角函数的定义可列方程解出，需注意的范围
【详解】由三角函数定义,
解得,由,知,则.
故选：B.
3、D
【解析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解.
【详解】设小明家去年整年用水量为x，水费为y.
若时，则；
若时，则；
若时，则.
令，解得：
故选：D
4、B
【解析】
分析】
将代入求得，进而可得的值.
【详解】因为函数的 图象过点，
所以，
则，
所以，，
故选：B.
5、C
【解析】根据特称命题否定是全称命题即可得解.
【详解】把存在改为任意，把结论否定，为，.
故选：C
6、D
【解析】圆的圆心，半径
圆的圆心，半径
∴
∴
∴两圆内切
故选D
点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系
(2)切线法：根据公切线条数确定
7、C
【解析】设设，则在单调递增，再利用零点存在定理即可判断函数的零点所在的区间，也即是方程的根所在的区间.
【详解】因为为锐角的内角，满足，
设，则在单调递增，
，
在取，得，
，
因为，所以的零点位于区间，
即满足的角，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令，根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间.
8、C
【解析】运用诱导公式即可化简求值得解
【详解】，可得，
那么
故选：C
9、A
【解析】由菱形和平行四边形的定义可判断.
【详解】解：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”充分不必要条件.
故选：A.
10、C
【解析】利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积，
解得：，
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】由题意，以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，
设外接球的半径为，则
故.
故答案为：
【点睛】本题考查了多面体外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.
12、9
【解析】“1”的代换法去求的最小值即可.
【详解】
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为9
故答案为：9
13、 ①.15 ②.－3或
【解析】根据分段函数直接由内到外计算即可求，当时，分段讨论即可求解.
【详解】,
,
时，
若，则，解得或（舍去），
若，则，解得，
综上，或，
故答案为：15；－3或
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量，属于容易题.
14、6
【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.
【详解】是偶函数，
.
故答案6
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.
15、
【解析】利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出的值
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故答案为
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的数量积公式，熟记坐标运算法则，准确计算是关键，属于基础题
16、
【解析】根据偶函数的性质，结合绝对值的性质、对数函数的单调性，分类讨论，求出a的取值范围.
【详解】因为已知是定义在R上的偶函数，所以由，又因为 上单调递减，所以有.
当时，；
当时，.
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了对数函数的单调性，考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由图可求出，从而求得，由图可知函数处取得最小值，从而可求出的值，再将点的坐标代入函数中可求出，进而可求出函数的解析式，
（2）由题意求得所以，，而四边形OMQN的面积为S，则，代入化简利用三角函数的性质可求得结果
【小问1详解】
由图可知的周期T满足，得
又因为，所以，解得
又在处取得最小值，
即，得，
所以，，解得，
因为，所以．由，
得，所以
综上，
【小问2详解】
当时，，
所以．由知
此时
记四边形OMQN的面积为S，则
又

因为，所以，所以当，
即时，取得最大值
所以四边形OMQN面积的最大值是
18、（1）400；
（2）不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
【小问1详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨平均处理成本最低；
【小问2详解】
该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
19、（1） ;（2）是等腰三角形，其面积为
【解析】（1）由结合正弦面积公式及余弦定理得到，进而得到结果；（2）由结合内角和定理可得分两类讨论即可.
试题解析：
（1），由余弦定理得，
（2）
即或（ⅰ）当时，由第（1）问知，是等腰三角形，（ⅱ）当时，由第（1）问知，又，矛盾，舍.
综上是等腰三角形，其面积为
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20、（1）（2）.
【解析】（1）当时，，利用，结合条件及可得解；
（2）分析可得在上递增，进而得，从而得解.
【详解】（1）当时，，则，
为上的奇函数，且，
；
（2）因为当时，，所以在上递增，
当时，，所以在上递增，
所以在上递增，
因为，所以由可得，
所以不等式的解集为
21、 (Ⅰ) ；（Ⅱ）.
【解析】（I）联立两条直线的方程，解方程组可求得交点坐标，已知直线的斜率为，和其垂直的直线斜率是，根据点斜式可写出所求直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）由得
所以(，).
（Ⅱ）因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线的方程为.