2026届天津市塘沽一中高二数学第一学期期末监测试题含解析.doc

2026届天津市塘沽一中高二数学第一学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（ ）

A.120 B.84
C.56 D.28
2．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（）
A. B.
C. D.
3．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
4．函数直线与的图象相交于A、B两点，则的最小值为（）
A.3 B.
C. D.
5．若，则n的值为（）
A.7 B.8
C.9 D.10
6．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减
C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值
7．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.（0，] B.（0，]
C.，1) D.，1)
8．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．已知、、、是直线，、是平面，、、是点（、不重合），下列叙述错误的是（ ）
A.若，，，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则
10．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）．如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
11．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12．下列命题中是真命题的是（）
A.“”是“”的充分非必要条件
B.“”是“”的必要非充分条件
C.在中“”是“”的充分非必要条件
D.“”是“”的充要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______
14．若满足约束条件，则的最小值为________.
15．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.
16．已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前项的和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.
18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1
（1）求椭圆C方程；
（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是，的中点

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小
20．（12分）已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
（1）求拋物线方程；
（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.
21．（12分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）
（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
22．（10分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.
【详解】第一次循环：，，
第二次循环：，，
第三次循环：，，
第四次循环：，，
第五次循环：，，
第六次循环：，，
第七次循环：，，退出循环，
输出.
故选：B
2、A
【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.
【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，

则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，
所以，，故、、三点共线，
由椭圆定义，，有，所以，则，
再由椭圆定义，有，
因为，所以，
在中，即，所以，离心率
故选：A.
3、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
4、C
【解析】先求出AB坐标，表示出，规定函数，其中，利用导数求最小值.
【详解】联立解得可得点．联立解得可得点．由题意可得解得，令，其中，∴．∴函数单调递减；．因此，的最小值为
故选：C
【点睛】距离的最值求解：
（1）几何法求最值；
（2）代数法：表示出距离，利用函数求最值.
5、D
【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答
【详解】因为，则由组合数性质有，即，
所以n的值为10.
故选：D
6、C
【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论
【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数处取得极小值，故正确，
故选：
7、B
【解析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，

因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，
整理，得，又，
所以.
故选：B
8、D
【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解
【详解】由题意，故为直角三角形，
，
又，
，
又为直角三角形，故，
，
即，
.

故选：D.
9、D
【解析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由公理2可知，若，，，，则，A对；
对于B选项，由公理3可知，若，，，则，B对；
对于C选项，由空间中平行线的传递性可知，若，，则，C对；
对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D错.
故选：D.
10、C
【解析】设内层椭圆的方程为，可得外层椭圆的方程为，设切线的方程为，联立方程组，根据，得到，同理得到，结合题意求得，进而求得离心率.
【详解】设内层椭圆方程为，
因为内外层的椭圆的离心率相同，可设外层椭圆的方程为，
设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，整理得，
设切线的方程为，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，可得，
可得，所以离心率为.
故选：C.
11、B
【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】构造函数，则，故在上单调递减；
又，故可得，则，即，解得，
故不等式解集为.
故选：B.
【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.
12、B
【解析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义依次判断.
【详解】当时，，非充分，故A错.
当不能推出，所以非充分，
，所以是必要条件，故B正确.
当在中，，
反之，故为充要条件，故C错；
当时，，，，充分条件，
因为，当时成立，非必要条件，故D错.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.
【详解】由题意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，
所以，则，又，
综上，双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.
14、5
【解析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中是直线的纵截距，
代入得，即
平移直线，当直线过点时取得最小值5
故答案为：5
15、
【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.
【详解】直线的斜率为，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即的外心为，
所以，的外接圆的半径为，
因此，的外接圆方程为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式
16、4
【解析】直接利用椭圆的定义即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，
所以.
故答案为：4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)1
【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；
（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以 解得
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知
∴
,
∴，∴，∴的最小正整数为1
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.
18、（1）
（2）0
【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；
（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再根据题中的条件化简整理可求解.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，
所以，所以①
又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
所以②，由①②可知，所以，
，所以椭圆C的方程为
【小问2详解】
因为点P在直线上，所以设点，
由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在
所以直线AB的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，，
整理可得，
且所以，，
又因为，
，
所以

，
同理可得，
又因为，所以，
又因为，，，都是长度，所以，
所以，整理可得，
又因为，所以，
所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为0

19、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1) 取中点连接，连接，证得四边形为平行四边形，，再证面，即可得到证明结果；（2）建立空间坐标系，求面和面的法向量，即可得到两个面的二面角的余弦值，进而得到二面角大小.
【小问1详解】

如上图，取中点连接，连接，均为线段中点，
且，又G是的中点，且
且四边形为平行四边形
为等腰直角三角形，为斜边中点，

面，面
面
又面 .
【小问2详解】

建立如图坐标系，

设面的法向量为
设面的法向量为
两个法向量的夹角余弦值为：，由图知两个面的二面角为钝角，故夹角为.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.
【小问1详解】
由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，
即，
所以抛物线方程：
【小问2详解】
联立直线和得，解得，
，

21、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.
【解析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出；
（2）由题可知Ü，列出不等式组即可求解.
【详解】解：（1）当a＝2时，命题q：2＜x＜4，
∵命题p：x≤2或x＞6，，
又为真命题，∴x满足，
∴2＜x＜4，
∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；
（2）由题意得：命题q：a＜x＜2a；
∵q是的充分不必要条件，Ü，
，解得，
∴实数a的取值范围.
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含
22、（1）
（2）不一定共线，理由见解析
【解析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；
（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.
【小问1详解】
由题意得，，
设，，
代入椭圆C的方程得，
，可得.
可得.
由，，所以∽△BOA，
所以，即，可得.
又，，得.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当轴时，，设，，
则
由已知条件和方程，可得，
整理得，，
解得或.
由于，所以当时，点M，，N共线；
所以当时，点M，，N不共线.
所以点M，，N不一定共线.