第二十五讲方阵相似于对角阵的充分必要条件优质课件专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,定理,n,阶矩阵,A,相似于对角矩阵,的充,要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量.,推论 若,n,阶矩阵,A,有,n,个不同的特征值,则,A,必能相似于对角矩阵.,矩阵可对角化的条件,1,我们先假设存在可逆矩阵,，,使,将 用其列向量表示为,由 得 ，即,2,于,是 ，,这说明,是,的特征值,，,是 的对应于特征值,的特征向量。这就是 的具体构造方法,.,因为,可逆,，,所以,线性无关.,3,n,1,+,n,2,+,+,n,s,=,n,.,矩阵对角化的步骤,设,n,阶方阵,A,可对角化，则把,A,对角化的,步骤如下：,Step1,：,求出矩阵,A,的所有特征值，设,A,有,s,个不同的特征值,1,2,s,，,它们的重,数分别为,n,1,n,2,n,s,有,4,Step2:,对,A,的每个特征值,i,求,(,A,-,i,E,),x,=0,的基础解系,设为,(,i,=1,2,s,).,以这些向量为列构造矩阵,5,上的元素,(,A,的特征值,),之间的对应关系.,则,P,-,1,AP,=,.,要注意矩阵,P,的列与对角矩阵,主对角线,6,例2,判断下列实矩阵能否化为对角阵？若可，,则将其对角化，并写出相似变换矩阵,P,及,对角,矩阵,。,解：,7,得,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,8,线性无关,即,A,有3个线性无关的特征向量，所以,A,可以对角化。,相似变换矩阵,相似对角阵,9,当 时，解,得基础解系,所以 不能化为对角矩阵.,10,实对称矩阵的相似对角化,定理1,实对称矩阵的特征值为实数.,定理2,设,A,为,n,阶实对称矩阵，,是,A,的特征方,程的,r,重根,则矩阵,A-,E,的秩,R,(,A-,E,)=,n-r,，,从,而对应,于特征值,恰有,r,个线性无关的特征向量,.,定理3,设,A,为,n,阶实对称矩阵，则必有可逆阵,P,，,使得,P,-1,AP,=,，,其中,是以,A,的,n,个特征值为对,角元素的对角阵.,11,例3,将下面实对称矩阵,A,相似对角化,解：特征多项式,12,13,小结：,3.,若,A,有,n,个线性无关的特征向量,一、矩阵对角化的步骤,其中,是以,A,的,n,个特征值为对角元素的对角阵.,二、实对称矩阵必可对角化,14,