河南省豫西名校2025年高一上数学期末监测模拟试题含解析.doc

河南省豫西名校2025年高一上数学期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在区间上单调递减的函数是（）
A. B.
C. D.
2．，则　　
A.1 B.2
C.26 D.10
3．设，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4．已知a>0，则当取得最小值时，a值为（）
A. B.
C. D.3
5．已知,则的值是
A.0 B.–1
C.1 D.2
6．某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是（）
A. B.
C. D.
7．已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．若，则的最小值为
A.-1 B.3
C.-3 D.1
9．已知幂函数的图象过点，则的值为
A. B.
C. D.
10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，，则的最小值为____________.
12．设则__________.
13．已知，，则_____；_____
14．命题“，”的否定是___________.
15．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.（参考数据：）
16．已知函数若，则实数的值等于________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.
（1）当时，求的长；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.
18．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
19．已知点，圆
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值
20．已知函数
（1）求的解析式，并证明为R上的增函数；
（2）当时，且的图象关于点对称．若，对，使得成立，求实数的取值范围
21．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知
（1）当时，求的不动点；
（2）若函数有两个不动点，，且
①求实数的取值范围；
②设，求证在上至少有两个不动点
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】依次判断四个选项的单调性即可.
【详解】A选项：增函数，错误；B选项：增函数，错误；
C选项：当时，，为减函数，正确；
D选项：增函数，错误.
故选：C.
2、B
【解析】根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，，
则；
故选B．
【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，注意分析函数的解析式．解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．
3、B
【解析】由全集，以及与，找出与的补集，求出补集的并集即可
【详解】
，，则
故选：B
4、C
【解析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
5、A
【解析】利用函数解析式，直接求出的值.
【详解】依题意.故选A.
【点睛】本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.
6、A
【解析】纵轴表示离家的距离，所以在出发时间为可知C,D错误，再由刚开始时速度较快，后面速度较慢，可根据直线的倾斜程度得到答案.
【详解】当时间时，，故排除C,D；
由于刚开始时速度较快，后面速度较慢，
所以前段时间的直线的倾斜角更大.
故选：A.
【点睛】本题考查根据实际问题抽象出对应问题的函数图象，考查抽象概括能力，属于容易题.
7、C
【解析】由在，上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围
【详解】解：由在上单调递减，得，
又由且在上单调递减，
得，解得，所以，
作出函数且在上的大致图象，

由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当，即时，联立，即，
则，解得：，
当时，即，由图象可知，符合条件
综上：
故选：C
8、A
【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.
详解：，当且仅当时等号成立，故选A.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.
9、B
【解析】利用幂函数图象过点可以求出函数解析式，然后求出即可
【详解】设幂函数的表达式为，则，解得，
所以，则.
故答案为B.
【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题
10、A
【解析】由图象知函数的定义域排除选项选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除C，
故选：A
【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】“1”的代换法去求的最小值即可.
【详解】
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为9
故答案为：9
12、
【解析】先求，再求的值.
【详解】由分段函数可知，
.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.
13、 ①. ②.
【解析】利用指数式与对数的互化以及对数的运算性质化简可得结果.
【详解】因为，则，故.
故答案为：；2
14、 “，”
【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”
故答案为：“，”
15、51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，根据题中数据再列方程可得a值.
【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，
则

，得
，

则燃料质量是箭体质量的51倍
故答案为：51.
16、-3
【解析】先求，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.
【详解】
当a>0时，2a=-2解得a=-1，不成立
当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3
【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.
【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，
所以直线AB的方程为：，
圆心到直线AB的距离为，则，
所以；
（2）当弦被点平分时，AB与垂直，
因为，所以，
直线AB的点斜式方程为，即.
【点睛】本题考查直线的点斜式方程、直线截圆所得弦长，属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据周期计算，，时满足条件，即，过原点得到，得到答案.
（2）设，，根据函数最值得到，计算得到答案.
【详解】（1），，故.
向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=.
即，故，即，
时满足条件，即，，故.
故
（2），故，故，.
设，即恒成立.
即的最大值小于等于零即可.
故满足：， 即 ，解得
【点睛】本题考查了三角函数解析式，函数恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.
19、（1）或．（2）
【解析】(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.
(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.
【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为
由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切
当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,
即．由题意知,
解得,∴方程为
故过点M的圆的切线方程为或
（2）∵圆心到直线的距离为,
∴,解得
【点睛】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.
20、（1）；证明见解析.
（2）
【解析】（1）由求出后可得的解析式，按照增函数的定义证明即可；
（2）求出函数在上的值域为，求出在上的最值，根据的最值都属于列式可求出结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，所以.
证明：任取，且，
则
，
因为，，所以，
所以为R上的增函数.
【小问2详解】
依题意，即，
当时，为增函数，，，
所以在上的值域为，
因为在上的最值只可能在或或处取得，
所以在上的最值只可能在或或处取得，
所以在上的最值只可能是或或，
因为的图像关于点对称，所以在上的最值只可能是或或，
所以在上的最值只可能是或或或或，
若，对，使得成立，
则的最值都属于，
所以，即，所以，所以，
又，所以.
【点睛】关键点点睛：（2）中，求出在上的最值，根据题意转化为的最值都属于是解题关键.
21、（1）的不动点为和；（2）①，②证明见解析.
【解析】（1）当时，函数，令，即可求解；
（2）①由题意，得到的两个实数根为，，设，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把可化为，设的两个实数根为，，根据是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，函数，
方程可化为，解得或，
所以的不动点为和
（2）①因为函数有两个不动点，，
所以方程，即的两个实数根为，，
记，则的零点为和，
因为，所以，即，解得.
所以实数的取值范围为
②因为
方程可化为，即
因为，，所以有两个不相等的实数根
设的两个实数根为，，不妨设
因为函数图象的对称轴为直线，
且，，，所以
记，
因为，且，所以是方程的实数根，
所以1是的一个不动点，
，
因为，所以，，
且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，
又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，
综上，在上至少有两个不动点
【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.