2026届湖北省鄂东南五校一体联盟联考数学高二第一学期期末监测试题含解析.doc

2026届湖北省鄂东南五校一体联盟联考数学高二第一学期期末监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．变量，满足约束条件则的最小值为()
A. B.
C. D.5
2．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，；若，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
3．已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为
A. B.
C. D.
4．双曲线的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
5．的展开式中，常数项为（）
A. B.
C. D.
6．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
9．设等比数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
10．设命题，，则为（）.
A.， B.，
C.， D.，
11．在平行六面体中，点P在上，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12．已知集合，集合或，是实数集，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________
14．方程的曲线的一条对称轴是_______，的取值范围是______.
15．已知双曲线中心在坐标原点，左右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与 垂直的直线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为________
16．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列，，，为其前n项和，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
18．（12分）已知函数
（1）求在点处的切线方程
（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积
19．（12分）在复数集C内方程有六个根分别为
（1）解出这六个根；
（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点，.请用空间向量知识解答下列问题：

（1）求线段的长；
（2）若为线段上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值.
21．（12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
22．（10分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据
（1）男生和女生应各抽取多少人？
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.
【详解】根据不等式组作出可行域如图，

，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.
故选：A.
2、B
【解析】根据题意求得，化简得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】在中，，，，AD为BC边上的高，
可得，
由
又因为，所以，所以.
故选：B.
3、D
【解析】求得，根据的面积列方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】依题意，双曲线的一条渐近线为，
则，所以，
所以，所以.
所以双曲线渐近线方程为.
故选：D

【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算，属于中档题.
4、C
【解析】把双曲线方程化为标准形式，直接写出焦点坐标.
【详解】，焦点在轴上，，故焦点坐标为.
故选：C.
5、A
【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：A.
6、B
【解析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.
且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.
7、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.
8、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
9、C
【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
10、B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.
【详解】因为命题，，所以为，.
故选：B.
11、C
【解析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.
【详解】因为，
，
所以有，因此，
故选：C
12、A
【解析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可
【详解】，或，故
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可
【详解】设
,又有成立，
函数，即是上的增函数
，，即,
，
故答案为：
14、 ①.x轴或直线 ②.
【解析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.
【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，
又，解得，此时曲线与都关于直线对称，
曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.
故答案为：x轴或直线；
15、
【解析】判断出三角形的形状，求得点坐标，由此列方程求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意设双曲线方程为，
双曲线的渐近线方程为，右焦点，
不妨设.
由于，所以是线段的中点，
由于，所以是线段的垂直平均分，
所以三角形是等腰三角形，则.
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由解得，
则，即，
化简得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：

16、
【解析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.
【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
当时，恒成立，则，
当时，必有，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)按照所给条件，先算出的表达式，再按照与的关系计算,；
(2)裂项相消求和即可.
【小问1详解】
由题可知数列是等差数列，
所以，
，
又因为，所以；
【小问2详解】

所以；
故答案为：， .
18、（1）
（2）2
【解析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以，所以切线的斜率，
切线过点，切线的方程为，即
【小问2详解】
解：由题知，即解得或，即或或，
直线与曲线于
则所求图形的面积
19、（1）
（2）
【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；
（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可
【小问1详解】
由题意，

当时，设
故，
所以
解得：，即
当时，设
故
所以
解得：，即
故：
【小问2详解】
六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，
其中
在复平面中描出这六个点如图所示：

六个点构成的图形为正六边形，边长为1
故
20、（1）
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知可得出，求出的值，即可得解；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、，
则，，
，则，解得，故.
【小问2详解】
解：，则，又、、，
所以，，，
设为平面的法向量，则，取，可得，
显然，为平面的一个法向量，
，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
21、 (1) (2)=2
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得

由于，所以，
又，故.
(Ⅱ)的面积==,故=4，
而故=8，解得=2
22、（1）应抽取男生49人，女生51人；
（2）.
【解析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为.