河北省魏县五中2025年高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

河北省魏县五中2025年高二上数学期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（ ）

22
23
24
25
26

23
24
▲
26
28
A.24 B.25
C.25.5 D.26
2．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）
A.60 B.120
C.150 D.240
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）
A.7 B.10
C.12 D.14
4．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）
A.0 B.
C. D.
5．若，则与的大小关系是（）
A. B.
C. D.不能确定
6．已知命题p：，总有，则为（ ）
A.，使得 B.，使得
C.，总有 D.，总有
7．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为
A.1 B.2
C.4 D.8
8．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）
A. B.
C. D.与相交但不垂直
9．已知命题“”为真命题，“”为真命题，则（）
A.为假命题，为真命题 B.为真命题，为真命题
C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为假命题
10．在等差数列中，，则（）
A.9 B.6
C.3 D.1
11．设x∈R，则x<3是0<x<3的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
12．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________.
14．已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.
15．已知球的半径为3，则该球的体积为 _________.
16．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知命题p：方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程无实根.若p或q为真，￢q为真，求实数m的取值范围.
18．（12分）设等比数列的前项和为，且（）
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：
19．（12分）大学生王蕾利用暑假参加社会实践，对机械销售公司月份至月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：
月份

销售单价（元）

销售量（件）

（1）根据至月份数据，求出关于的回归直线方程；
（2）若剩下的月份的数据为检验数据，并规定由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（注：，，参考数据：，）
20．（12分）设p：；q：关于x的方程无实根.
（1）若q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若是假命题，且是真命题，求实数k的取值范围.
21．（12分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.
（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.
22．（10分）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且
（1）求圆Q的方程；
（2）过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出、，将样本中心点带入回归方程，即可求得参数.
【详解】设缺少的数值为，则，，
因为回归直线方程经过样本点的中心，所以，解得.
故选：A
2、C
【解析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.
【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，
当分组为1人，2人，2人时有种，
所以共有种排法.
故选：C
3、A
【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.
【详解】
因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.
故选：A.
4、D
【解析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离
【详解】点是曲线上的任意一点，设，
令，解得1或（舍去），，
∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
点到直线的最小距离.
故选：D.
5、B
【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.
详解】解：，
所以，即.
故选：B
6、B
【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题p：，总有是全称量词命题，
所以其否定为存在量词命题，即，使得，
故选：B
7、B
【解析】设等轴双曲线的方程为
抛物线,
抛物线准线方程为
设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，
则,

将，代入，得

等轴双曲线的方程为
的实轴长为
故选
8、B
【解析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论
【详解】因为，，
所以，
所以∥，
因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
故选：B
9、A
【解析】根据复合命题的真假表即可得出结果.
【详解】若“”为真命题，则为假命题，
又“”为真命题，则至少有一个真命题，
所以为真命题，即为假命题，为真命题.
故选：A
10、A
【解析】直接由等差中项得到结果.
详解】由得.
故选：A.
11、B
【解析】利用充分条件、必要条件的定义可得出结论.
【详解】Ü，
因此，“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
12、A
【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，
由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，
得，所以，点，
易知点、，，，
因为，则，得，可得，则，
点到右准线的距离为为，则，，
因此，椭圆的方程为.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】设出，根据条件推出在圆上运动，根据题意要使双曲线和圆有交点，则得答案.
【详解】设点 ，由得：，
所以，化简得：，
即满足条件的点在圆上运动，
又点存在于上，故双曲线与圆有交点，
则 ,即实数a的最大值为2，
故答案为：2
14、30
【解析】根据等比数列性质得 ， ， 也成等比，即可求得结果.
【详解】由等比数列的性质可知， ， ， 构成首项为10，公比为1 的等比数列，所以
【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力，属基础题.
15、
【解析】根据球的体积公式计算可得；
【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；
故答案为：
16、##
【解析】直接根据概率和为1计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、.
【解析】计算命题p：；命题；根据p或q为真，￢q为真得到真假，计算得到答案.
【详解】若方程的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则满足，即，即，即
若方程无实根，则判别式，
即，得，即，即
若为真，则为假，同时若或为真，则为真命题，
即，得，即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了命题的真假计算参数范围，根据条件判断出真假是解题的关键.
18、（1）（2）见解析
【解析】（1）由两式相减得，
所以（）
因为等比，且，所以，所以
故
（2）由题设得，所以，
所以，
则
，
所以
19、（1）
（2）回归直线方程是理想的
【解析】（1）根据表格数据求得，利用最小二乘法可求得回归直线方程；
（2）令回归直线中的可求得估计数据，对比检验数据即可确定结论.
小问1详解】
由表格数据可知：，，
，则，
关于的回归直线方程为；
【小问2详解】
令回归直线中的，则，
，（1）中所得到的回归直线方程是理想的.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据命题的真假，结合一元二次方程无实根，列出的不等式，即可求得结果；
（2）求得命题为真对应的的范围，结合命题一个为真命题一个为假命题，即可列出的不等式组，求解即可.
【小问1详解】
若q为真命题，则，
解得，即实数k的取值范围为.
【小问2详解】
若p为真，，解得，
由是假命题，且是真命题，
得：p、q两命题一真一假，
当p真q假时，或，得，
当p假q真时，，此时无解.
综上的取值范围为.
21、（1），中位数为；
（2）.
【解析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数性质求中位数即可.
（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.
【小问1详解】
由图知：，解得.
学生成绩在的频率为；
学生成绩在的频率为.
设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，
故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.
【小问2详解】
由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.
按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.
从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，
其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，
∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）先求出点坐标，然后根据圆心到直线的距离公式及的值求出半径即可求得圆的方程.
（2）设出直线方程，联立圆和直线方程利用韦达定理来求解.
【小问1详解】
解：点关于直线的对称点Q为
由Q到直线的距离，所以
所以圆的方程为
【小问2详解】
当直线CD斜率不存在时，，所以.
当直线CD斜率存在时，设为k，则直线为，记，
联立，得
所以，

综上，为定值5