湖南省怀化市中方县第二中学2025-2026学年数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

湖南省怀化市中方县第二中学2025-2026学年数学高二上期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（）
A.8 B.10
C. D.12
2．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）
A. B.
C.5 D.6
3．已知数列满足且，则（）
A.是等差数列 B.是等比数列
C.是等比数列 D.是等比数列
4．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
5．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）
A.0.01245 B.0.05786
C.0.02865 D.0.03745
7．已知向量，．若，则（ ）
A. B.
C. D.
8．在等比数列中，若是函数的极值点，则的值是（）
A. B.
C. D.
9．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
10．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
11．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. B.或2
C. D.或
12．已知直线：和：，若，则实数的值为（ ）
A. B.3
C.-1或3 D.-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，，则原的面积为______.

14．在等比数列中，若，是方程两根，则________.
15．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.
16．双曲线的离心率为__________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
18．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程
19．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率等于
（1）求椭圆的方程
（2）设，若椭圆E上存在两个不同点P、Q满足，证明：直线PQ过定点，并求该定点的坐标.
20．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.

（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：

0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点.
22．（10分）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）

（1）求抛物线方程并证明是定值；
（2）若，的面积比是，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于
【详解】因为，，所以，故的周长为
故选：B
2、D
【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出
【详解】等价于，而，
所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有
，所以，
故
故选：D
3、D
【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.
【详解】由，可得，所以，
又由，，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，，，
，所以不是等差数列；
不等于常数，所以不是等比数列.
故选：D.
4、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.
【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
5、C
【解析】设直线的倾斜角为，则，解方程即可.
【详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，
所以.
故选：C
6、D
【解析】设出事件，利用全概率公式进行求解.
【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故
故选：D
7、A
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.
【详解】向量，，因，则，解得，
所以，B，D都不正确；，C不正确，A正确.
故选：A
8、B
【解析】根据导数的性质求出函数的极值点，再根据等比数列的性质进行求解即可.
【详解】，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是函数的极值点，因为，
且
所以，
故选：B
9、B
【解析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.
【详解】解：∵，而，
∴，又，即，
又，，
∴，
若，则，
∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.
故选：B.

【点睛】关键点点睛：由已知确定，，构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.
10、C
【解析】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，求出的值，即可得到答案；
【详解】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，则，
，，
，
连线与所成角的余弦值为
故选：C.

11、B
【解析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.
【详解】由是和的等比中项，可得，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，
故选：B.
12、D
【解析】利用两直线平行列式求出a值，再验证即可判断作答.
【详解】因，则，解得或，
当时，与重合，不符合题意，当时，，符合题意，
所以实数的值为-1.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.
【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：

且，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题
14、.
【解析】由题意求得，，再结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】由题意知，，是方程的两根，可得，，
又由，，所以，，可得，
又由，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、2
【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.
【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，

设，，则，
∴，∴.
故答案为：2.
16、
【解析】根据双曲线方程确定a,b,c的值，求出离心率.
【详解】由双曲线可得：，
故，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）是，0
【解析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：，则，，进而根据得，进而得答案；
（2）直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.
【小问1详解】
解：由题意，设抛物线的方程为：，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，所以，即，解得.
所以抛物线的方程为：
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
则联立方程得，
所以，，
因为，
所以
.
所以为定值.
18、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
19、（1）；
（2）证明见解析，.
【解析】（1）由题可得，即求；
（2）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法可得，即得.
【小问1详解】
由题可设椭圆的方程为，
则，
∴，
∴椭圆的方程为；
【小问2详解】
当直线PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为，设，
由，得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∴，
∴直线PQ的方程为过定点；
当直线PQ的斜率不存在时，不合题意.
故直线PQ过定点，该定点的坐标为.
20、（1）
（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，
（3）见解析
【解析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，
（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果
（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论
【小问1详解】
令，则可转化为，
因为，
所以，
所以，所以，
所以y关于x的回归方程为
【小问2详解】
与的相关系数为

因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程得（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
【小问3详解】
因为，所以，
因为样本标准差为，
所以，
所以非原料成本y服从正态分布，
所以
因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数值得抛物线方程；
（2）设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得值，得定点坐标
【小问1详解】
已知双曲线的一条渐近线方程为，即，
抛物线的焦点为，所以，解得（因为），
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
由题意设直线方程为，设
由得，，，
又，所以，
所以
，直线不过原点，，所以
所以直线过定点
22、（1），证明见解析
（2）
【解析】（1）根据，结合韦达定理即可获解
（2），再结合焦点弦公式即可获解
【小问1详解】
由题知，故，
抛物线方程为，
设直线的方程为，，，，，
，得，
，，

，

【小问2详解】
，
由（1）知，可求得，，
故
的方程为，即
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是要把面积的比例关系转为为边的比例关系