湖北省宜昌市秭归县第二中学2025年高二数学第一学期期末经典试题含解析.doc

湖北省宜昌市秭归县第二中学2025年高二数学第一学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（）（结果精确到）

（参考数值：）
A B.
C. D.
2．已知数列{}满足，且，若，则＝（ ）
A.－8 B.－11
C.8 D.11
3．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A. B.
C. D.
4．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）

A. B.
C. D.
5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6．下列语句中是命题的是
A.周期函数的和是周期函数吗？ B.
C. D.梯形是不是平面图形呢？
7．已知抛物线y2= 2px（p> 0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（　　）
A. B.
C.1 D.2
8．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）
A. B.
C. D.
9．双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（）
A.2或12 B.2或18
C.18 D.2
11．已知的三个顶点是，，，则边上的高所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．是首项和公差均为3的等差数列，如果，则n等于（）
A.671 B.672
C.673 D.674
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果点在运动过程中，总满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为______
14．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）
15．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.
16．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B.椭圆上存在点，使得
C.椭圆的离心率为
D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．其中e为然对数的底数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，讨论函数的零点个数
18．（12分）如图，在长方体中，，．点E在上，且

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值
19．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间x/分
10
11
12
13
14
15
等候人数y/人
23
25
26
29
28
31
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.
（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程= x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线= x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
20．（12分）已知椭圆的上顶点在直线上，点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P，Q在椭圆C上，且，，点G为垂足，是否存在定圆恒经过A，G两点，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）某厂A车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：
加工零件的个数x
1
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
1.5
2.4
3.2
3.9
4.5
（1）在给定的坐标系中画出散点图；

（2）求出y关于x的回归方程；
（3）试预测加工9个零件需要多少时间？
参考公式：，
22．（10分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案
【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，

由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，
令y＝，解得，
所以水面宽度为2.24×817.9m
故选：C
2、C
【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.
【详解】因为，且，，
故可得，解得（舍）,；
同理求得，，.
故选：C.
3、D
【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，
，故选D.
4、B
【解析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量
【详解】因为是的中点，是的中点，
，
故选：B
5、D
【解析】利用分布计数原理求出所有的基本事件个数，在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率个数求出.解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D
考点：古典概型
点评:本题考查先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题
6、B
【解析】命题是能判断真假的语句，疑问句不是命题，易知为命题，故选B
7、C
【解析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，
因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，
显然，在直角三角形中，
，
故选：C

8、B
【解析】利用余弦型函数的周期公式可求得的值，由结合的取值范围可求得的值.
【详解】由已知可得，且，因此，.
故选：B.
9、A
【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.
【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，
所以，
所以其渐近线方程为：，即.
故选：A.
10、C
【解析】利用双曲线的定义求.
【详解】解：由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
11、B
【解析】求出边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.
【详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，
即.
故选：B.
12、D
【解析】根据题意，求得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.
【详解】因为数列为等差数列，
所以，
令，解得.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8
【解析】根据椭圆定义判断出轨迹，分析条件结合椭圆定义可知当直线x=m过右焦点时，三角形ADE周长最大.
【详解】，
到定点，的距离和等于常数，
点轨迹C为椭圆，且
故其方程为，
则为左焦点，
因为直线与C交于D，E，则，不妨设D在轴上方，E在轴下方，
设椭圆右焦点为A'，连接DA'，EA'，
因为DA'＋EA'≥DE，
所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，
所以△ADE的周长，当时取得最大值8，
故答案为：8
14、36
【解析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，
则共有种分配方案.
故答案为：36
15、2
【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.
【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，

设，，则，
∴，∴.
故答案为：2.
16、ABD
【解析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.
【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；
对于选项：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故选项正确；
对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，
因为，所以，
所以选项正确，
故选：ABD

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.
【解析】(1)求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；
(2)求导数，分、、a＞2讨论函数f(x)单调性和零点即可.
【小问1详解】
当时，，易知定义域为R，
，
当时，；
当或时，
故的单调递减区间为，单调递增区间为和；
【小问2详解】

当时，
x

正
0
负
0
正

单增
极大值
单减
极小值
单增
当时，恒成立，
∴；
当时，
①当时，，∴无零点；
②当时，，∴有1个零点；
③当时，，又当时，单调递增，，∴有2个零点；
综上所述：当时，无零点；
当时，有1个零点；当时，有2个零点
【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，，的坐标，证明，，即可得证；
（2）由（1）知，的法向量为，直接写出平面法向量，按照公式求解即可.
【小问1详解】
在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

因为，，
所以，，，，，
则，，，
所以有，，则，，又
所以平面
小问2详解】
由（1）知平面的法向量为，而平面法向量为
所以，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
19、（1），是“恰当回归方程”；
（2）10分钟较合适.
【解析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.
（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.
【小问1详解】
中间4组数据是：
间隔时间（分钟）
11
12
13
14
等候人数（人）
25
26
29
28
因为，
所以，故，
又，所以，
当时，，而；
当时，，而；
所以所求的线性回归方程是“恰当回归方程” ；
【小问2详解】
由（1）知：当时，，
所以预测车辆发车间隔时间10分钟较合适.
20、（1）；
（2）存在，定圆.
【解析】（1）由题可得，，即求；
（2）由题可设直线的方程，利用韦达定理及条件可得直线恒过定点，则以为直径的圆适合题意，即得.
【小问1详解】
由题设知，椭圆上顶点为，且在直线上
∴，即
又点在椭圆上，
∴解得，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
设，，当直线斜率存在，设直线为：
联立方程，化简得
∴，，
∵，∴
又∵，
∴

将，代入，
化简得，即
则或，
①当时，直线恒过定点与点重合，不符题意.
②当时，直线恒过定点，记为点，
∵，∴以为直径，其中点为圆心的圆恒经过两点，
则圆方程为：；
当直线斜率不存在，设方程为，，，且

，，
∴，
解得或（舍去），，取，以为直径作圆，
圆方程为：恒经过两点，
综上所述，存在定圆恒经过两点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是证明直线恒过定点，结合条件可得以为直径的圆，适合题意即得.
21、（1）图见解析；
（2）；
（3）小时.
【解析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点即可.
（2）由表格中的数据代入公式算出，再求，即可得到方程；
（3）中将自变量为9代入回归方程可得需用时间.
【小问1详解】
【小问2详解】
由表中数据得：，，，，
由x与y之间具有线性相关关系，根据公式知：
，，
∴回归直线方程为：
【小问3详解】
将代入回归直线方程得，，
∴预测加工9个零件需要小时
22、（1）an=n
（2）
【解析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式，
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求
【小问1详解】
因a1，a2+1，a3+6成等比数列，所以
又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d= （舍），
所以an=n；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以
所以