江苏省南京市玄武区2026届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

江苏省南京市玄武区2026届高一上数学期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与
A.① ② B.① ③
C.③ ④ D.① ④
2．半径为，圆心角为的弧长为（）
A. B.
C. D.
3．函数在区间上的简图是（ ）
A. B.
C. D.
4．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
5．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（）
A. B.
C.1 D.
6．若幂函数y=f（x）经过点（3，），则此函数在定义域上是
A.偶函数 B.奇函数
C.增函数 D.减函数
7．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A.至少有一个白球与都是红球 B.恰好有一个白球与都是红球
C.至少有一个白球与都是白球 D.至少有一个白球与至少一个红球
8．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

x

0
5

0
根据表格中的数据，函数的解析式可以是（）
A. B.
C. D.
9．函数的图象的一个对称中心为（　　）
A. B.
C. D.
10． “”是“”的条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的图像恒过定点___________
12．若函数在上单调递增，则a的取值范围为______
13．某高校甲、乙、丙、丁4个专业分别有150，150，400，300名学生．为了了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从这4个专业的学生中抽取40名学生进行调查，应在丁专业中抽取的学生人数为______
14．设是R上的奇函数，且当时，，则__________
15．已知奇函数f（x），当，，那么___________.
16．已知幂函数y＝xα的图象过点(4，)，则α＝__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）已知，求的值；
（2）计算：.
18．已知函数.
（1）求函数的周期和单调递减区间；
（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.
19．已知函数（是常数）是奇函数，且满足.
（1）求的值；
（2）试判断函数在区间上的单调性并用定义证明.
20．已知定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式
21．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示：

已知第天的日销售收入为元
（1）求的值；
（2）给出以下四个函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，求的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.
【详解】①中的定义域为，的定义域也是，但与对应关系不一致，所以①不是同一函数；
②中与定义域都是R，但与对应关系不一致，所以②不是同一函数；
③中与定义域都是，且，对应关系一致，所以③是同一函数；
④中与定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C
【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
2、D
【解析】利用弧长公式即可得出
【详解】解：，
弧长cm
故选：D
3、B
【解析】分别取，代入函数中得到值，对比图象即可利用排除法得到答案.
【详解】当时，，排除A、D；
当时，，排除C.
故选：B.
4、D
【解析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
5、B
【解析】根据函数奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可
【详解】解：奇函数恒满足，
，即，则，即，即是周期为4的周期函数，
所以，
故选：B
6、D
【解析】幂函数是经过点，
设幂函数为，
将点代入得到
此时函数定义域上是减函数，
故选D
7、B
【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
8、A
【解析】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案.
【详解】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，
，解得，解得，
又，解得，
所以的解析式可以是
故选：A
9、C
【解析】根据正切函数的对称中心为，可求得函数y图象的一个对称中心
【详解】由题意，令，，解得，，
当时，，所以函数的图象的一个对称中心为
故选C
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10、A
【解析】若,则；若,则,推不出．所以“” 是“”成立的充分不必要条件．故选A
考点：充分必要条件

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点.
【详解】因为指数函数（,且）过定点
是将向左平移2个单位得到
所以过定点.
故答案为：.
12、
【解析】根据函数的单调性得到，计算得到答案.
【详解】函数在上单调递增，则
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
13、12
【解析】利用分层抽样的性质直接求解
详解】由题意应从丁专业抽取的学生人数为：
故答案为：12
14、
【解析】由函数的性质得，代入当时的解析式求出的值，即可得解.
【详解】当时，，，
是上的奇函数，
故答案为：
15、
【解析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.
【详解】由f（x）为奇函数，可知，则
又当，，则
故
故答案为：
16、
【解析】把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.
【详解】解：由幂函数的图象过点，
所以，
解得.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）.
【解析】（1）把所给的式子进行平方运算，即可求出的值，找到和的关系即可求出的值；
（2）化根式为分数指数幂，把对数式的真数用对数的运算性质拆开，再用对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）由得，
由得，
故.
（2）

18、（1），
（2）
【解析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的平移变换规则求出的解析式，根据，得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得；
【小问1详解】
解：∵

，
即，
所以函数的最小正周期，
令，解得.
故函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：由题意可得，
∵，∴，
∵，所以，则，
因此
.
19、 (1) ,
(2) 在区间（0，0.5）上是单调递减的
【解析】（Ⅰ）∵函数是奇函数，则
即 ∴------------------------2分
由得
解得
∴，．------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，
∴，----------------------------------------8分
当时，----------------------------10分
∴，即函数在区间上为减函数．------------12分
[解法2：设，
则＝
＝------------------------------10分
∵ ∴，，
∴，即
∴函数在区间上为减函数．--------------------------12分].
20、（1）1；（2）.
【解析】（1）由奇函数的性质有，可求出的值，注意验证是否为奇函数.
（2）根据函数的奇偶性、单调性可得，再结合对数函数的性质求解集.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
经检验是奇函数，即
【小问2详解】
由，得，又是定义在上的奇函数，
所以，易知在上递增，
所以，则，解得，
所以原不等式的解集为
21、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据第10天的日销售收入，得到，即可求解；
（2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得实数的值，再利用进而列出方程组，求得的值，从而求得函数的解析式；
（3）根据（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函数的单调性分别求得各段的最小值，比较得到结论.
【详解】（1）因为第10天的日销售收入为505元，
所以，即，解得.
（2）由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，
函数模型：①；③；④都是单调函数，
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，
所以日销售量与时间的变化的关系式为.
（3）由（2）知，
所以，
即，
当时，
由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值
【点睛】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
1、认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
2、根据已知利用待定系数法，列出方程，确定函数模型中的待定系数；
3、结合函数的基本形式，利用函数模型求解实际问题，