2025年新疆阿瓦提县第四中学高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年新疆阿瓦提县第四中学高二上数学期末综合测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列导数运算正确的是（）
A. B.
C. D.
2．已知数列{}满足，则（）
A. B.
C. D.
3．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. B.
C.2 D.
4．抛物线的焦点是
A. B.
C. D.
5．已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（）
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
6．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）

A. B.
C. D.
7．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则的单调递增区间为（）.
A. B.
C. D.
9．已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（）
①函数是圆O的一个太极函数
②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
③函数是圆O的一个太极函数
④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件

A.①② B.①③
C.②③ D.③④
11．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）

A. B.
C. D.
12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A 192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若不等式的解集为，则________
14．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
15．已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______
16．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程
18．（12分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积
19．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
20．（12分）已知函数在处取得极值7
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值
21．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度
22．（10分）如图，四棱锥中，，.

（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解
【详解】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，错误；
选项D，，错误
故选：B
2、B
【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.
【详解】因为，
.
故选：B
3、A
【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心
，又点在圆上，
，即
，故选A

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来
4、D
【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.
【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.
【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.
5、C
【解析】利用，可得且，即可得出结论
【详解】∵，
且，
椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距
故选：C
6、A
【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.
【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.
故选：A.
7、D
【解析】设直线倾斜角为，则，即可求出.
【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，所以.
故选：D.
8、D
【解析】利用导数分析函数单调性
【详解】的定义域为，，令，解得
故的单调递增区间为
故选：D
9、D
【解析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可
【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为
和，
因为两圆过，
所以和，
所以两点的坐标满足圆，
因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，
所以当弦长最小时，，
因为，半径为2，所以弦长的最小值为，
当过点时，弦长最长为4，
因为，
所以当弦长最小时，的最大值为，
当弦长最大时，的最小值为，
所以的取值范围为，
故选：D
10、B
【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.
【详解】是奇函数，且与圆O的两交点坐标为，能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故符合题意，①正确；
同理函数是圆O的一个太极函数，③正确；
例如，是偶函数，也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；
函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件，
例如为奇函数，但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误；
故选：B
11、D
【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据光速相同，且 求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，
两式相减得 ，
所以 的周长为 ，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，且 ，
所以 ，即 ，
所以，
即的长轴长与的实轴长之比为，
故选：D
12、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、11
【解析】根据题意得到2与3是方程的两个根，再根据两根之和与两根之积求出，进而求出答案.
【详解】由题意得：2与3是方程的两个根，则，，所以.
故答案为：11
14、1
【解析】通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.
【详解】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
故答案为：1
15、
【解析】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到，为真命题，则，从而求出参数的取值范围；
【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；
故答案：
16、
【解析】利用导数求出切线的斜率即得解.
【详解】解：由题得，
所以切线的斜率为，
所以切线的方程为即.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得
所以，双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据焦半径公式可求，从而可求抛物线的方程.
（2）求出的长度后可求的面积.
【小问1详解】
因为，所以，
故抛物线方程为：.
【小问2详解】
设，且，
由可得，故或，
故，故，故，
而到直线的距离为，
故的面积为
19、（1）证明见解析
（2）
（3）存在；
【解析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；
（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.
【小问1详解】
证明：连接BD，设BD与AC交于点O，
连接PO．因为，所以

四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，则
又，所以平面PBD，
因为平面PBD，所以
【小问2详解】
因为，所以，所以由（1）知平面ABCD，
以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，
所以，，，
设平面AEC的法向量，则，
即，令，则
平面ACD的法向量，，
所以二面角为；
【小问3详解】
存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：
由（2）得，，
设，则，
所以点F到平面AEC的距离，
解得，，所以
20、（1）；（2）.
【解析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）先由（1）得到，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值.
【详解】（1）因为，所以，
又函数在处取得极值7，
，解得；，
所以，
由得或；由得；满足题意；
（2）又，
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
因此
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题方法如下：
（1）先对函数求导，根据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；
（2）将所求参数代入，得到解析式，利用导数研究其单调性，得到其最大值.
21、（1）；（2）
【解析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程
（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度
【详解】解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题
22、（1）详解解析；
（2）存在.
【解析】（1）利用勾股定理证得，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点，，求得平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，进而得解.
【小问1详解】
取中点为，连接，

在中，，，
，又，，
所以，又，
，而，
所以，又，
，
，又，，
平面.
【小问2详解】
以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
设点，因为点F在线段上，设，
， ，
设平面的法向量为，，，
则，令，则，
设直线CF与平面所成角为，
，
解得或（舍去），
，此时点F是的三等分点，
所以在线段上是存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于.