线性多变量系统线性系统理论完整专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,第一章 绪 论,第二章 线性系统的状态空间描述,第三章 线性系统的运动分析,第四章 线性系统的能控性和能观测性,第五章 线性系统的稳定性,第六章 线性反馈系统的时间域综合,线性系统的时间域理论,线性系统的复频率域理论,第一章 绪论,1.1,系统控制理论的研究对象,系统,是系统控制理论的研究对象,系统,:,是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”,系统具有如下,3,个基本特征,:,(1),整体性,(2),抽象性,作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究,.,(3),相对性,在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性,1/3,1/5,动态系统,:,所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统,动力学系统,系统变量可区分为三类形式,系统动态过程的数学描述,动态系统的分类,从机制的角度,从特性的角度,从作用时间,类型的角度,u,x,y,2/3,2/5,线性系统理论的研究对象为,线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理,.,若表征系统的数学描述为,L,系统模型,是对系统或其部分属性的一个简化描述,系统模型的作用,模型类型的多样性,数学模型的基本性,建立数学模型的途径,系统建模的准则,3/3,3/5,1.2,线性系统理论的基本概貌,线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科,主要内容,:,数学模型,分析理论,综合理论,发展过程,:,经典线性系统理论,现代线性系统理论,主要学派,:,状态空间法,几何理论,把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合,代数理论,把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题,多变量频域方法,1/2,4/5,1.3,本书的论述范围,1,：状态空间法,2,：多项式矩阵法,2/2,5/5,第一部分,:,线性系统时间域理论,第二章 线性系统的状态空间描述,2.1,状态和状态空间,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法,系统动态过程的数学描述,1/4,1/50,(1).,系统的外部描述,外部描述常被称作为输出,输入描述,例如,.,对,SISO,线性定常系统,:,时间域的外部描述,:,复频率域描述即传递函数描述,(2),系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,状态方程和输出方程,(3),外部描述和内部描述的比较,一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分,.,内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性,.,2/4,2/50,状态和状态空间的定义,状态变量组,:,状态,（向量）,一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组,所组成的一个列向量,一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组,状态空间,状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数,几点解释,（,1,）状态变量组对系统行为的完全表征性,只要给定初始时刻,t,0,的任意初始状态变量组,和,tt,0,各时刻的任意输入变量组,那么系统的任何一个内部变量在,tt,0,各时刻的运动行为也就随之而完全确定,3/4,3/50,(2).,状态变量组最小性的物理特征,(3).,状态变量组最小性的数学特征,(4).,状态变量组的不唯一性,(5).,系统任意两个状态变量组之间的关系,(6),有穷维系统和无穷维系统,(7),状态空间的属性,状态空间为建立在实数域,R,上的一个向量空间,R,n,4/4,4/50,2.2,线性系统的状态空间描述,电路系统状态空间描述的列写示例,以上方程可表为形如,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的,状态空间表达式,（动态方程或运动方程），包括,状态方程,（描述输入和状态变量之间的关系）和,输出方程,（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。,1/7,5/50,机电系统状态空间描述的列写示例,上式可表为形如,2/7,6/50,连续时间线性系统的状态空间描述,动态系统的结构,连续时间线性系统的状态空间描述,线性时不变系统,线性时变系统,3/7,7/50,连续时间线性系统的方块图,4/7,8/50,人口分布问题状态空间描述的列写示例,假设某个国家,城市人口为,10,7,乡村人口为,9,x10,7,每年,4%,的城市人口迁移去乡村,2%,的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为,1%,设,k,为离散时间变量,x,1,(k),、,x,2,(k),为第,k,年的城市人口和乡村人口,u(k),为第,k,年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励,5x10,4,城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致,5x10,4,乡村人口去城市,y(k),为第,k,年全国人口数,写成矩阵形式,5/7,9/50,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式,离散时间线性时不变系统,离散时间线性时变系统,6/7,10/50,状态空间描述的特点,一是,:,状态方程形式上的差分型属性,二是,:,描述方程的线性属性,三是,:,变量取值时间的离散属性,离散时间线性系统的方块图,7/7,11/50,2.3.,连续变量动态系统按状态空间描述的分类,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若,f(x,u,t),g(x,u,t),的全部或至少一个组成元为,x,、,u,的非线性函数,该系统称为,非线性系统,若,f(x,u,t),g(x,u,t),的全部组成元为,x,、,u,的线性函数,该系统称为,线性系统,对于线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统,1/2,12/50,时变系统和时不变系统,若向量,f,g,不显含时间变量,t,即,该系统称为,时不变系统,若向量,f,g,显含时间变量,t,即,该系统称为,时变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为,连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为,离散时间系统,.,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为,确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的,.,称一个动态系统为,不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,2/2,13/50,2.4,由系统输入输出描述导出状态空间描述,由输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,1/18,14/50,结论,1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,即系统为真情形,设,2/18,15/50,可见,3/18,16/50,令,有,4/18,17/50,(2)mn,即系统为严真情形,写成矩阵形式：,5/18,18/50,结论,2,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=0,情形,此时输入输出描述为,:,选取,n,个状态变量,6/18,19/50,其对应的状态空间描述为,:,7/18,20/50,(2)m0,情形,此时输入输出描述为,:,a:,8/18,21/50,其对应的状态空间描述为,:,其中,9/18,22/50,b:,改写为,令,10/18,23/50,结论,3,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：,其极点即分母方程的根,为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：,(1),m,t,0,的有限时间区间,t,0,t,1,内，存在一个无约束的控制矢量,u(t),，使,x(t,1,)=0,，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。,可见系统的能控性反映了控制矢量,u(t),对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。,定义,1/3,1/45,能控性，能达性定义,对连续时间线性时变系统,如果存在一个时刻,以及一个无约束的容许控制,u(t),使系统状态由,x(t,0,)=x,0,转移到,x(t,1,)=0,，则称非零状态,X,0,在,t,0,时刻为,能控,。,如果存在一个时刻,t,1,J,t,1,t,0,以及一个无约束的容许控制,u(t),tt,0,t,1,使系统状态由,x(t,0,)=0,转移到,x(t,1,)=x,f,0,则称非零状态,x,f,在,t,0,时刻为,能达,。,*,对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价。,定义,：对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻,t,0,J,，如果状态空间中所有非零状态在时刻,t,0,J,都为能控,/,能达，称系统在时刻,t,0,为,完全能控,/,能达,。,2/3,2/45,定义：,对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻,t,0,J,，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻,t,0,J,为不能控,/,能达，称系统在时刻,t,0,为不完全能控,/,能达。,定义,：若系统的能控,/,能达性与初始时刻,t,0,的选取无关，或系统在任意初始时刻,t,0,J,均为完全能控,/,能达，则称系统为一致完全能控,/,能达。,能观测性定义,对连续时间线性时变系统和指定初始时刻,t,0,J,如果存在一个时刻,t,1,J,，,t,1,t,0,，使系统以,x(t,0,)=x,0,为初始状态的输出,y(t),恒为零，即,y(t)0,，,tt,0,t,1,，则称非零状态,x,0,在时刻,t,0,为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻,t,0,都不为不能观测，则称系统在时刻,t,0,为,完全能观测,；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻,t,0,为不能观测，则称系统在时刻,t,0,为,不完全能观测,；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻,t,0,的选取无关，则称系统为,一致完全能观测,。,该系统是不完全能观测的,由于,可见系统的状态,x(t),的能观测性与,x(t,0,),的能观测性是等价的。,3/3,3/45,4,2,连续时间线性系统的能控性判据,结论,1,：,线性时变系统,在,t,0,时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,证明,充分性,为非奇异时，系统能控,说明系统是能控的,1/8,4/45,反证法,必要性,是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。,由于,是奇异的，故,的行向量在,t,0,t,1,上线性相关，必存在非零的行向量,，使在,t,0,t,1,区间成立 ，若选择非零的初始状态,x(t,0,)=,T,则,说明,=0,矛盾,2/8,5/45,结论,2,：,连续时间线性时不变系统：,完全能控的充分必要条件是，存在时刻,t,1,0,，使格拉姆矩阵,为非奇异。,结论,3,：,n,维连续时间线性时变系统,设,A(t),B(t),对,t,为,n-1,阶连续可微，定义,则系统在时刻,t,0,J,完全能控的一个,充分条件,为，存在一个有限时刻,t,1,J,，,t,1,t,0,，,使,3/8,6/45,结论,4,对,n,维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵,满秩，即,rankQ,c,=n,结论,5,n,维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：,rankSI-AB=n,或,为系统特征值,结论,6,：,n,维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵,A,不存在与,B,所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵,A,所有特征值,i,，使同时满足,T,A=,i,T,，,T,B=0,的左特征向量,T,=0,。,4/8,7/45,结论,7,：对,n,维线性时不变系统，若,A,为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是,B,中不包含零行向量。,结论,8,：对,n,维线性时不变系统，若,A,为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：特征值互异的约当块最后一行对应的,B,阵中，该行元素不全为零。,特征值相同的各约当块最后一行对应的,B,阵各行向量线性无关。,5/8,8/45,例,图示电路，判断系统能控性条件,解,选取状态变量,x,1,=i,L,，,x,2,=u,C,，得系统的状态方程为：,6/8,9/45,（,R,1,R,4,=R,2,R,3,）时，系统不能控。否则系统能控。,例,系统能控的充分必要条件是向量组,b,l11,、,b,l12,、,b,l13,线性无关以及,b,l21,线性无关（即不为零）。,7/8,10/45,定义,：令,对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：,使“,rankQ,k,=n”,成立的最小正整数,k,。,结论,9,：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，则系统能控性指数,n,。,结论,10,：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，输入维数为,p,，设,rankB=r,，则能控性指数满足,设,为矩阵,A,的最小多项式次数，则,结论,11,：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，输入维数为,p,，且,rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：,8/8,11/45,4,3,连续时间线性系统的能观测性判据,结论,1,：,线性时变系统在,t,0,时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,结论,2,：,连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻,t,1,0,，使格拉姆矩阵,为非奇异。,1/5,12/45,结论,3,：,n,维连续时间线性时变系统设,A(t),C(t),对,t,为,n-1,阶连续可微，定义,则系统在时刻,t,0,J,完全能观测的一个,充分条件,为，存在一个有限时刻,t,1,J,，,t,1,t,0,，,使,2/5,13/45,结论,4,对,n,维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵,满秩，即,rankQ,o,=n,结论,5,n,维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：,或,为系统特征值,结论,6,：,n,维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵,A,不存在与,C,所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵,A,所有特征值，使同时满足,的右特征向量,3/5,14/45,结论,7,：对,n,维连续时间线性时不变系统，若,A,为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是,C,阵中不包含零列向量。,结论,8,：对,n,维连续时间线性时不变系统，若,A,为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：,特征值互异的约当块第一列对应的,C,阵中，该列元素不全为零。,特征值相同的约当块第一列对应的,C,阵中，各列向量线性无关。,4/5,15/45,定义,：令,完全能观测,n,维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为,使“,rankQ,k,=n”,成立的最小正整数。,结论,9,：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，则能观测性指数为,n,。,结论,10,：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，输入维数为,q,，设,rankC=m,，则,设,为矩阵,A,的最小多项式次数，则,结论,11,：对多输出连续时间线性时不变系统，设,rankC=m,，则系统完全能观测的充分必要条件是：,5/5,16/45,4.4,离散时间线性系统的能控性和能观性判据,时变系统的能控性和能观性判据,定义,离散时间线性时变系统,如果对初始时刻,h,J,k,和任意非零初始状态,X(,h,)=X,0,都存在时刻,l,J,k,l,h,和对应输入,u,(k),使输入作用下系统状态在时刻,l,J,k,达到原点，即有,X(,l,)=0,则称系统在时刻,h,完全能控,；,如果对初始时刻,h,和任意非零状态,X,l,，都存在时刻,l,J,k,l,h,和对应输入,u(k),，使输入作用下由初始状态,X(h)=0,出发的系统运动在时刻,l,J,k,达到,X,l,，则称系统在时刻,h,完全能达,。,结论,1,离散时间线性时变系统在时刻,h,完全能达的充分必要条件为，存在时刻,l,J,k,l,h,，使格兰姆矩阵,为非奇异,1/8,17/45,结论,2,若系统矩阵,G(k),对所有,k,h,l,-1,非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻,h,J,k,完全能控的充分必要条件为，存在时刻,l,J,k,l,h,，使格兰姆矩阵,为非奇异,若系统矩阵,G(k),对一个或一些,k,h,l,-1,奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻,h,完全能控的一个充分条件。,若系统矩阵,G(k),对所有,k,h,l,-1,非奇异，则系统能控性和能达性等价。,若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。,2/8,18/45,时不变系统的能控性和能达性判据,结论,3,离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻,l,0,，使格兰姆矩阵,为非奇异。,若系统矩阵,G,非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻,l,0,，使格兰姆矩阵,为非奇异。若系统矩阵,G,奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。,3/8,19/45,结论,4,n,维离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为矩阵,满秩,若系统矩阵,G,非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为,rankQ,kc,=n,。,若系统矩阵,G,奇异，,rankQ,kc,=n,为系统完全能控的一个充分条件。,结论,5,对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制,则系统必可在,n,步内由任意非零初态,X(0),，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。,若系统矩阵,G,非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。,若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。,4/8,20/45,例,设单输入线性离散系统的状态方程为,试判断系统的能控性，若初始状态,x(0)=2,1,0,T,，确定使,x(3)=0,的控制序列,u(0),u(1),u(2),；研究,x(2)=0,的可能性。,解,系统是能控的,5/8,21/45,令,若令,无解。即不存在控制序列,u,（,0,），,u,（,1,）能够使系统从初始状态,x(0)=2,1,0,T,转移到,x(2)=0,。,6/8,22/45,时变系统的能观测性判据,结论,6,离散时间线性时变系统在时刻,h,J,k,完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻,l,J,k,l,h,使格兰姆矩阵,为非奇异,时不变系统的能观测性判据,结论,7,离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻,l0,使格兰姆矩阵,为非奇异,7/8,23/45,结论,8,n,维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为,满秩,结论,9,若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用,n,步输出值就可构造出相应的初始状态,8/8,24/45,4.5,对偶性,定义：,对连续时间线性时变系统,其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统,其中,状态,X,为,n,维行向量,协状态,为,n,维行向量,输入,u,为,p,维列向量,输入,为,q,维行向量,输出,Y,为,q,维列向量,输出,为,p,维行向量,结论,10,:,原构系统的状态转移矩阵,与对偶系统的状态转移矩阵,之间满足如下关系,1/2,25/45,结论,11,设,为原构线性系统,d,为对偶线性系统,则有,完全能控,d,完全能观测,完全能观测,d,完全能控,2/2,26/45,4.6,离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件,设连续时间线性时不变系统,对应的时间离散化系统,其中,G=e,AT,H=,A,的特征值,结论,12,如果连续系统（,A,、,B,、,C,）不能控（不能观测），则对任意采样周期,T,离散化后的系统（,G,、,H,、,C,）也是不能控（不能观测）的。,证明,用反证法,设连续系统不能控，而对于某采样,T,离散化后的系统却是能控的。则,rankH,、,GH,、,G,2,H,、,G,n-1,H=n,1/3,27/45,容易验证,为可交换阵，故,由于,e,AiT,可用,I,、,A,、,A,2,、,A,n-1,线性表示，故,连续系统是能控的，矛盾。,本定理也可叙述为：,如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。,2/3,28/45,结论,13,：设连续系统（,A,、,B,、,C,）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：,不是,A,的特征值。其中,k,为非零整数,结论,14,对时间离散化，使采样周期,T,的值,则时间离散化系统能控的充分必要条件是,e,AT,B,为行线性无关,结论,15,连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控,/,完全能观测的一个充分条件为，采样周期,T,满足如下条件：对,A,的任意两个特征值,1,、,2,，不存在非零整数,k,，使,成立,对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。,3/3,29/45,4.7,能控性、能观测性与传递函数的关系,结论,16,如果,A,的特征值互不相同，则系统（,A,、,B,、,C,）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵,G,（,s,）的分母,|sI-A|,与分子之间不发生因子相消,结论,17,单输入、单输出系统（,A,、,b,、,c,）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数,G,（,s,）的分母,|sI-A|,与分子之间不发生因子相消。,结论,18,单输入、单输出系统（,A,、,b,、,c,），如果,A,的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。,证明：单输入、单输出系统动态方程为,如果,A,的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使,A,成为对角阵。即：,1/4,30/45,状态方程可写为,：,在初始条件为零的情况下，拉氏变换得,对输出方程拉氏变换,此式即为传递函数的部分分式,2/4,31/45,若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为,s-,k,，则说明,f,k,k,=0,，,k,=0,，,f,k,0,系统是不能控的；,f,k,=0,，,k,0,，系统是不能观测的；,k,=0,，,f,k,=0,，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有,f,k,k,0,（,k=1,、,2,、,n,）系统是既能控又能观测的。,3/4,32/45,例,设单输入、单输出系统的传递函数,由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。,结论,19,如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵,的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）,结论,20,如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量,X,（,0,）之间的传递矩阵,的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）,4/4,33/45,4,8,能控规范形和能观测规范形：,SISO,情形,结论,21,：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。,定义,一个单输入系统，如果其,A,、,b,阵具有如下形式：,则系统一定能控。这种形式的,A,、,b,阵称为能控标准形,1/5,34/45,结论,22,：对完全能控,n,维单输入单输出连续时间线性时不变系统,则通过变换矩阵,2/5,35/45,可将系统变换成能控规范形，即,导出,3/5,36/45,定义,一个单输出系统，如果其,A,、,c,阵具有如下形式：,则系统一定能观测，此时的,A,、,c,阵称为能观测标准形,结论,23,：对完全能观测的,n,维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换,导出,4/5,37/45,其中,5/5,38/45,4,9,能控规范形和能观测规范形,MIMO,情形,旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形,龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形,1/1,39/45,1.,Luenberger,可控标准形,定理,3-3,设系统,(,3-15,),可控，则存在等价变换将其化为,(,3-16,),所示的可控标准形。,二、多变量系统的标准形,(3-16),其中,这里 分别是 的矩阵。,下面介绍变换的具体做法。,2,）,.,列出可控性矩阵：,按上面的排列顺序，自左向右挑选出,n,个线性无关向量，再重新排列如下：,1,）,.,不失一般性，假设,B,=,b,1,b,2,b,p,列满秩；,4,）,.,求出,P,1,，以,h,i,表示,P,1,阵的,然后构造变换阵：,5,）,.,取非奇异变换,就可得到,讨论：,1,）,P,2,的可逆性证明：,a,）,由,证完。,一般地，若基底矩阵,(,P,1,),1,是按照如下方法得到：,则必有,P.82,例题,3-2,设系统动态方程,(,A,、,B,、,C,),为,试求其可控标准形。,解,计算可控性矩阵,可知其前四个线性无关列为,1,2,3,5,列，故,1,=3,2,=1,可求出,h,1,=2 1 0 0,h,2,=0 0 1 0,，从而可得,由,经计算，可得可控标准形：,2.,多输出系统的可观标准形,类似地可建立多输出系统的可观标准形，这里省略。,3.,多变量系统的三角标准形,若系统可控制，令其可控性矩阵为,按以下方式构造,n,个线性无关列：,定理,3-6,：,设系统,(,A,B,C,),可控，则存在等价变换将一其化为如下所示的三角标准形：,在三角标准形中，基底的选取不排除如下可能性：,4,10,连续时间线性时不变系统的结构分解,系统按能控性分解,设不能控系统的动态方程为,其能控性矩阵的秩为,rn,，选出其中,r,个线性无关列，再加任意,n-r,个列，构成非奇异变换,T,-1,其中,1/6,40/45,经非奇异变换后，系统的动态方程写为,于是可得能控子系统动态方程为：,不能控子系统动态方程为,2/6,41/45,例,已知,试按能控性进行规范分解,解,系统不完全能控，取,能控子系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,3/6,42/45,系统按能观测性分解,设不能观测系统的动态方程为,其能观测性矩阵的秩为,ln,，选出其中,l,个线性无关行，再加任意,n-l,个行，构成非奇异变换,T,能观测子系统动态方程为,不能观测子系统动态方程为,4/6,43/45,系统按能控性和能观测性的标准分解,设系统（,A,、,B,、,C,）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令,再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解,最后得到,5/6,44/45,经,T,-1,变换后，系统的动态方程为,能控、能观测子系统动态方程为：,能控、不能观测子系统动态方程为,不能控、能观测子系统动态方程为,不能控、不能观测子系统动态方程为,6/6,45/45,第,5,章 系统运动的稳定性,5,1,外部稳定性和内部稳定性,定义,：称一个系统的外部稳定（,BIBO,）是指对任何一个有界输入,u(t),即：,u(t),1,的任意输入,u(t),，对应的输出,y(t),均为有界，即,结论,1,：对零初始条件,p,维输入和,q,维输出连续时间线性时变系统，,tt,0,+,）则,t,0,时刻系统,BIBO,稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数,，使对一切,tt,0,+),脉冲响应矩阵,H(t,),所有元均满足关系式,证明,考虑,SISO,情形,充分性,1/4,1/18,必要性,采用反证法，即系统,BIBO,稳定，却存在某个,t,1,使,可以取,有,矛盾,结论,2,：对零初始条件,p,维输入和,q,维输出连续时间线性时不变系统，令,t,0,=0,则系统,BIBO,稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数,，使脉冲响应矩阵,H(t),所有元均满足关系式,2/4,2/18,结论,3,：,对零初始条件,p,维输入和,q,维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻,t,0,=0,则系统,BIBO,稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵,G(s),的所有极点均具有负实部。,定义：,称连续时间线性时不变系统在,t,0,为内部稳定，是指由时刻,t,0,任意非零初始状态引起的零输入响应,X,ou,(t),对,tt,0,+),有界，并满足渐近属性，即：,结论,4,：设,n,维连续时间线性时变自治系统,系统在,t,0,时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵,(t,t,0,),对所有,tt,0,+,为有界，并满足：,结论,5,：对,n,维连续时间线性时不变自治系统,内部稳定的充分必要条件为,或矩阵,A,所有特征值均具有负实部，即：,Re,i,(A)0,。,3/4,3/18,内部稳定性和外部稳定性的关系,结论,6,：对连续时间线性时不变系统，内部稳定,BIBO,稳定，反之不成立。,若系统能控且能观测，则内部稳定,BIBO,稳定。,4/4,4/18,（,1,）平衡状态及其稳定性的定义,1.,平衡状态,考虑系统 （,1,）,若随着时间,t,的变化，状态向量 保持不变，即,则这个状态为系统的平衡状态。这时状态向量等于常向量,由于平衡状态也是系统的一个运动，它是系统运动微分方程,的解，所以 是方程 的解。,2.,简化的平衡状态,在初始时刻,t,0,时,干扰引起的状态向量,x,0,与平衡状态,x,e,之差,称为初始扰动向量。由,x,0,所决定的运动过程是,二、运动的稳定性,前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动,平衡状态的稳定性,，现在来讨论系统,(7-1),任一运动的稳定性问题。我们已经知道，每一个初始状态,x,(,t,0,)=,x,0,确定唯一的解,一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心,(,7-1,),的某一个运动,:,我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为,给定运动,，或,未被扰运动,。,进而，设于初始时刻,t,0,，系统受到干扰，状态由,x,0,变成,x,0,+,y,0,从这一初始状态出发的运动，即初值问题,的解，称为,被扰运动,。,类比于平衡状态的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），我们也可以相应地定义,相对于给定运动的稳定性,（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。,定义,对于任意的,0,，都存在,(,t,0,)0,，使得当,x,(,t,0,),f,(,t,0,),(,t,0,),时有,x,(,t,t,0,x,0,),f,(,t,t,0,x,0,),t,t,0,成立。则称系统关于给定运动,x,=,f,(,t,t,0,x,0,),是（李雅普诺夫意义下）稳定的。,但需要指出，,关于给定运动的稳定性可以变换成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是不必要的,。,为此，考虑变换,y,=,x,f,，则扰动方程定义为：,则显然,这说明，通过上述变换可以将给定运动（或称为未被扰运动）的稳定性问题化为,(7-3),的零解稳定性问题。也就是说，今后讨论运动的稳定性时，可先列出其扰动方程，然后讨论扰动方程,(7-3),零解的稳定性就可以了，而没有必要再给出运动稳定性的其它定义。,（,2,）平衡状态的稳定性定义,设 是系统（,1,）的平衡状态。若在某种干扰作用下，系统的状态变成,则初值问题,决定的运动：,称为被扰运动，即初始扰动 引起的运动，简记为 。,李亚普诺夫提出了著名的几个关于未定型的定义，成为稳定性理论发展的基础。,定义,1.,在系统,的平衡状态 某邻域，称为,H,邻域：,在,H,邻域中，,1,）若对于任意给定的正数 （,H,），都可以找到一个与 和 有关的正数 ，使得当初始状态 满足,时，对一切 恒有 ，则称平衡状态 是稳定的。,2,）若平衡状态 是稳定的，而且有,则平衡状态是渐进稳定的。,3,）若平衡状态不是稳定的，即存在正数,0,，都对应存在另一依赖于,和,t,0,的实数,(,t,0,)0,，使得满足不等式,X,0,-X,e,(,t,0,),的任一初始状态,x,0,出发的受扰运动,(t,；,x,0,t,0,),都满足不等式：,(t,；,x,0,t,0,)-X,e,稳定的几何解释,李亚普诺夫意义下一致稳定,时不变系统的稳定属性,李亚普诺夫意义下稳定的实质,1/2,5/18,渐近稳定,称自治系统,的孤立平衡状态,X,e,=0,在时刻,t,0,为渐近稳定，如果,)X,e,=0,在时刻,t,0,为李亚普诺夫意义下稳定，,）对实数,(,t,0,)0,和任给实数,0,使得满足不等式,X,0,-X,e,(,t,0,),的任一初始状态,x,0,出发的受扰运动,(t,；,x,0,t,0,),满足不等式,(t,；,x,0,t,0,)-X,e,，,不稳定,称自治系统,的孤立平衡状态,X,e,=0,在时刻,t,0,为不稳定，如果不管取实数,0,为多么大，都不存在对应一个实数,(,t,0,)0,，使得满足不等式,X,0,-X,e,(,t,0,),的任一初始状态,x,0,出发的受扰运动,(t,；,x,0,t,0,),满足不等式,(t,；,x,0,t)-X,e,，,不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是,大范围稳定,的。,不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是,大范围渐近稳定,的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。,为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是,小范围稳定,的。,对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定,2/2,6/18,5,3,李亚普诺夫第二方法的主要定理,结论,7,：,对连续时间非线性时变自治系统,X=0,为系统平衡状态，若可构造对,x,和,t,具有连续一阶偏导数的标量函数,V(x,t),，,V(0,t)=0,，且对状态空间中所有非零状态,X,满足如下条件：,）,V(x,t),正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数,(x),和,(x),，,(0),0,，,(0),0,，使对所有,tt,0,),有：,(x)V(x,t)(x),0,)V(x,t),对时间,t,的导数负定且有界。,),当,x,，有,V(x,t),则系统的原点平衡状态,x=0,为大范围一致渐近稳定。,结论,8,：对连续时间非线性时不变自治系统,X=0,为系统平衡状态，若可构造对,x,具有连续一阶偏导数的标量函数,V(x),，,V(0)=0,，且对状态空间中所有非零状态,X,满足如下条件：,）,V(x),为正定,),为负定,),当,x,，有,V(x),则系统原点的平衡状态,x=0,为大范围一致渐近稳定。,1/4,7/18,例,设系统状态方程为,坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性,解,取一正定的标量函数,为一负定的标量函数，且,系统是大范围渐近稳定的。,2/4,8/18,结论,9,小范围渐近稳定性定理,对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对,x,和,t,具有连续一阶偏导数的一个标量函数,V(x,t),V(0