上海市第四中学2025年数学高二第一学期期末达标测试试题含解析.doc

上海市第四中学2025年数学高二第一学期期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与直线垂直，则（ ）
A.6 B.4
C. D.
2．积分（ ）
A. B.
C. D.
3．设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）

A.圆上 B.双曲线上
C.抛物线上 D.椭圆上
6．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则有(n＞2)，．设数列{an}满足：an＝，则数列{an}的前36项和为（　　）
A.11 B.12
C.13 D.18
7．椭圆上的一点M到其左焦点的距离为2，N是的中点，则等于（ ）

A.1 B.2
C.4 D.8
8．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）

A. B.
C. D.
9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（ ）

A.9cm B.6cm
C.3cm D.4.5cm
10．过点与直线平行的直线的方程是（）
A. B.
C. D.
11．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）
A. B.
C. D.
12．执行如图的程序框图，输出的S的值为（）

A. B.0
C.1 D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是______
14．已知，若共线，m+n＝__.
15．如图三角形数阵：
1
3 2
4 5 6
10 9 8 7
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.
16．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是的中点

（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值
18．（12分）在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
19．（12分）已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
20．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若,,求
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点.
22．（10分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.
【详解】由题意可知，即
故选：A.
2、B
【解析】根据定积分的几何意义求值即可.
【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，
所以.
故选：B
3、D
【解析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分析可得在上为减函数，进而分析可得上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，又由即，则有或，据此分析可得答案
【详解】根据题意，设，则，
若奇函数，则，则有，即函数为偶函数，
又由，则，则，
，又由当时，，则在上为减函数，
又由，则在上，，在上，，
又由为偶函数，则在上，，在上，，
即，则有或，
故或，
即不等式的解集为；
故选：D
4、B
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，
其中和为偶数的有共种，
所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
5、A
【解析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.
【详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，
则，，因为为底面内的一动点，所以可设，
因此，，
因为平面，所以，因此，
所以由得，
即，整理得：，表示圆，
因此，动点的轨迹在圆上.
故选：A.

【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.
6、B
【解析】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，再根据an＝，即可求出数列{an}的前36项和
【详解】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，
∴前36项共有12项为偶数，
∴数列{an}的前36项和为12×1+24×0＝12.
故选：B
7、C
【解析】先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理得即可.
【详解】由椭圆方程，得，
由椭圆定义得，又，
，又为的中点，为的中点，
线段为中位线，
∴.
故选：C.
8、C
【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.
【详解】由函数的图象可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .
因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,
所以不等式的解集为.
故选:C
9、A
【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出
【详解】由题意可得，，解得．故选：A
10、A
【解析】根据题意利用点斜式写出直线方程即可.
【详解】解：过点的直线与直线平行，
，
即.
故选：A.
11、A
【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.
【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；
令，又，则，故，
∵在上递减，
∴，故的最大值为.
∴为真命题，为假命题；
∴为真，为假，为假，为假.
故选：A.
12、A
【解析】直接求出的值即可.
【详解】解：由题得，程序框图就是求，
由于三角函数的最小正周期为，
，，
所以.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由
可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答,
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，
由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，
由椭圆及双曲线定义得：，解得，，
因，即，而O是线段的中点，因此有，
则有，即，整理得：，
从而有，即有，又，则有，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
14、
【解析】根据空间向量平行的坐标运算求出m,n，进而求得答案.
【详解】由于，因为，所以存在，使得，于是，则.
故答案为：.
15、
【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.
【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，
由此规律可知，到第行结束一共有个数字；
又当时，，所以第行结束一共有个数字；
当时，，所以在第行，故；
由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，
第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，
所以在倒数第列，所以，
所以.
故答案为：.
16、2
【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值
【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，
因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，

所以，则 ，
由抛物线的定义可得，
又是的中点，所以到准线的距离为,
故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.
（2）构建空间直角坐标系，设，结合已知确定相关点坐标，进而求面、面的法向量，结合已知二面角的余弦值求出参数t，再根据空间向量夹角的坐标表示求与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
由平面，平面，则，
又是菱形，则，又，
所以平面，平面
所以E.
【小问2详解】
分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，
由（1）知：平面的法向量为，
令面的法向量为，则，令，可得，
因为二面角的余弦值为，则，
可得，则，
设与平面所成的角为，又，，
所以.

18、（1）；（2）.
【解析】(1)根据等差数列的通项公式求解；
(2)运用裂项相消法求数列的和.
详解】（1）∵，∴，
即
∴
（2）由（1）可得，
即.
利用累加法得

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求数列的和.
19、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，
（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可
【小问1详解】
的定义域为

当时，，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
，，即证：
，即证：
当时，，，

当时，令，则

在上单调递增

在上单调递增

综上所述：，即
20、（1）；（2）
【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解
试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8, 2分
∴+=20 ∴解之得或 4分
又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n 6分
（2）, ∴ ① 8分
∴②
∴①-②得＝ 12分
考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数值得抛物线方程；
（2）设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得值，得定点坐标
【小问1详解】
已知双曲线的一条渐近线方程为，即，
抛物线的焦点为，所以，解得（因为），
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
由题意设直线方程为，设
由得，，，
又，所以，
所以
，直线不过原点，，所以
所以直线过定点
22、（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x >25时，不等式有解，等价于x >25时, 有解,利用基本不等式,可以求得a.
【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.