2025年山东省平度市数学高二第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年山东省平度市数学高二第一学期期末达标测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
2．方程表示的图形是
A.两个半圆 B.两个圆
C.圆 D.半圆
3．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．设数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
5．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）
A. B.
C. D.
6．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）
A B.
C. D.
7．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（）
A.－1 B.0
C.1 D.－6
8．，则（ ）
A. B.
C. D.
9．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ）
A. B.
C.4 D.
10．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（）
A.17人 B.83人
C.102人 D.115人
11．抛物线的准线方程是
A. B.
C. D.
12．已知是等比数列，则（ ）
A.数列是等差数列 B.数列是等比数列
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.
14．函数极值点的个数是______
15．若过点和的直线与直线平行，则_______
16．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：
18．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．（12分）如图，已知等腰梯形，，为等腰直角三角形，，把沿折起

（1）当时，求证：；
（2）当平面平面时，求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值
20．（12分）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
21．（12分）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，

（1）点B到平面APQ的距离：
（2）设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值
22．（10分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.

（1）证明：平面PAD；
（2）若M是BP的中点，求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将点代入直线方程可得，解得
则所求直线方程为．故A正确
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为
2、D
【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形
【详解】根据题意，，再两边同时平方，
由此确定图形为半圆.
故选：D

【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围
3、D
【解析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.
【详解】的定义域是（0，+∞），
，
若函数有两个不同的极值点，
则在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故，解得：，
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.
4、C
【解析】利用，把代入中，即可求出答案.
【详解】当时，.
当时，.
故选：C.
5、C
【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.
【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，
依题意，，整理得：，
对于A，当时，，不满足题意，排除A；
对于D，当时，，不满足题意，排除D；
对于B，当时，，
对于C，当时，，
直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，
由解得：，于是得的外心，
若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，
显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；
若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，
由解得，即点为的外心，并且在直线上，
边AB上的高所在直线：，即，
边BC上的高所在直线：，即，
由解得：，则的垂心，此时有，
即的垂心在直线上，选项C满足题意.
故选：C
【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.
6、A
【解析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围.
【详解】因为圆心到直线的距离，
故要满足题意，只需，解得.
故选：A.
7、D
【解析】根据向量共面列方程，化简求得.
【详解】，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
8、B
【解析】求出，然后可得答案.
【详解】，所以
故选：B
9、A
【解析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.
【详解】如图，，，，过点C作CD⊥x轴于点D，则,所以直观图是底为2、高为的平行四边形，所以面积为.

故选：A.
10、C
【解析】根据频率计算出正确答案.
【详解】一句也说不出的学生频率为，
所以估计名学生中，一句也说不出的有人.
故选：C
11、C
【解析】根据抛物线的概念，可得准线方程为
12、B
【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.
【详解】若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，
故答案为：4
14、0
【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.
【详解】因为，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以函数的极值点的个数是0，
故答案为：0.
15、
【解析】根据两直线的位置关系求解.
【详解】因为过点和的直线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：3
16、
【解析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.
【详解】因为，故可得，
其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；
因为，即，
其表示过点，且斜率为的直线.
在同一坐标系下作图如下：

不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为
数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，
只需即可.
容易知：；
不妨设过点与相切的直线方程为，
则由直线与圆相切可得：，解得，
故.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见详解
（2），证明见解析
【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；
（2）设，，联立整理得，构造得
，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.
小问1详解】
由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得
所以在单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
证明：因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.
所以，可得,所以.
由（1）可得的极小值点为，则不妨设.
设，，则则，
即，整理得，所以，
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）

19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点E，连，证明四边形为平行四边形，从而可得为等边三角形，四边形为菱形，从而可证，，即可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）取的中点M，连接，以B为空间坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【小问1详解】
解：取的中点E，连，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，四边形为菱形，
∴，，
∴
∴，
∵，，，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴；
【小问2详解】
解：取的中点M，连接，
由（1）知，，
∵平面平面，，
∴平面，
以B为空间坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
由，，
有，取，可得，
设平面的法向量为，
由，，
有，取，有，
有，
故平面与平面所成二面角的正弦值为

20、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b，即可得出双曲线的标准方程；
(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可.
【小问1详解】
由题知：
由双曲线的定义知：，
又因为，所以，所以
所以，双曲线C的标准方程为
小问2详解】
设，则
因为，，所以，
所以
21、（1）
（2）或
【解析】（1）以三棱锥等体积法求点到面距离，思路简单快捷.
（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.
【小问1详解】
点О是正四棱锥底面中心，点О是BD的中点，
四边形PQDO矩形，，两点到平面APQ的距离相等.

正四棱锥中，
平面，平面，，

，
设点B到平面APQ的距离为d，
则，即
解之得，即点B到平面APQ的距离为
【小问2详解】
取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.

平面平面
正四棱锥中，
，直线平面
平面，平面平面，平面平面
平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.
中，
，
点P到直线ON的距离为
△中，，

设点E到平面的距离为d，则有，则
则有，
整理得，
解之得或
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；
（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.
【小问1详解】
证明：由已知为等边三角形，且，所以
又因为，,
在中，，
又，
所以在底面中，，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，
由已知可知平面ABCD的一个法向量
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则，
所以，
由图形可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.