云南省楚雄州永仁一中2025-2026学年高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

云南省楚雄州永仁一中2025-2026学年高二数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是
A. B.
C. D.
2．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.
A. B.
C. D.
3．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（）
A.（） B.（）
C.（） D.（）
4．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（）
A. B.
C. D.
5．已知矩形 ，，，沿对角线将折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
7．在正四面体中，点为所在平面上动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
8．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出值为（）

A. B.
C. D.
9．某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
10．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
11．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
12．一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）
A. B.
C. D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程：__________
①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切
14．已知等差数列中，，，则______________
15．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且，求四边形面积的最大值.
16．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，.
（1）求角B；
（2）求a，c的值及的面积.
18．（12分）大学生王蕾利用暑假参加社会实践，对机械销售公司月份至月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：
月份

销售单价（元）

销售量（件）

（1）根据至月份数据，求出关于的回归直线方程；
（2）若剩下的月份的数据为检验数据，并规定由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（注：，，参考数据：，）
19．（12分）已知直三棱柱中，， ，E、F分别是、的中点，D为棱上的点.

（1）证明：；
（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值.
20．（12分）已知，对于有限集，令表示集合中元素的个数．例如：当时，，
（1）当时，请直接写出集合的子集的个数；
（2）当时，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求满足条件的有序集合对的个数；
（3）假设存在集合、具有以下性质：将1，1，2，2，··，，．这个整数按某种次序排成一列，使得在这个序列中，对于任意，与之间恰好排列个整数．证明：是4的倍数
21．（12分）已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及相应的的值.
22．（10分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，

（1）证明：平面；
（2）求直线平面所成的角的正弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由方程表示双曲线知，
又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以，即，
所以
故选C.
考点：双曲线的标准方程与简单几何性质.
2、A
【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：

由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，
则四边形为矩形，故，由已知可知，
由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，.
故选：A.
3、A
【解析】根据题意，求得的外心，再根据外心的性质，以及重心的坐标，联立方程组，即可求得结果.
【详解】因为，故的斜率，又的中点坐标为，
故的垂直平分线的方程为，即，
故△的外心坐标即为与的交点，即，
不妨设点，则，即；
又△的重心的坐标为，其满足，
即，也即，将其代入，
可得，，解得或，对应或，
即或，因为与点重合，故舍去.
故点的坐标为.
故选：A.
4、A
【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可
【详解】解：由已知得,，
则，
故选：A
【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题
5、C
【解析】过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理求出，证明出，再利用勾股定理可求得的长.
【详解】过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，

因为，，，则，
因为，由等面积法可得，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，，
因为四边形为平行四边形，且，故四边形为矩形，所以，，
因为，所以，二面角的平面角为，
在中，，，
由余弦定理可得，
，，，则，，
因为，平面，平面，则，
，由勾股定理可得.
故选：C.
6、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
7、B
【解析】把条件转化为与圆锥的轴重合，面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹后即可求解.
【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与所成角为定值，所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意，不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆.面不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为，即时，轨迹为抛物线，时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆.
故选：B.

【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
8、A
【解析】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，计算三个数判断作答.
【详解】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，
因，，，
则，不成立，则，不成立，则，
所以应输出的x值为.
故选：A
9、A
【解析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果.
【详解】由题意有，得，
又由，得，
解得，，有
故选：A.
10、A
【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得
【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，
则有，，，
所以
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为
故选：A

11、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
12、B
【解析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.
【详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，
此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为，宽为，则由题意得：，解得：，
而长方体体积为，当且仅当时等号成立，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)
【解析】首先设圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解.
【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为，
由②③可知，整理可得，
当时，，，
所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.
故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)
14、
【解析】设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；
【详解】解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，所以，所以
故答案为：
15、（1）
（2）
【解析】（1）由斜率之积求得，再由已知条件得，从而得椭圆方程；
（2）延长QF2交椭圆于N点，连接，，设直线，，.直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，结合不等式的性质、函数的单调性可得的范围，再计算出四边形面积得结论
【小问1详解】
由题知：，
，，
又，∴椭圆.
【小问2详解】
延长QF2交椭圆于N点，连接，，如下图所示：

，
∴设直线，，.
由，得，
，，

.
，由勾形函数的单调性得，
根据对称性得：，且，
，

∴四边形面积的最大值为.
16、5
【解析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.
【详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，
设二次函数的解析式为，
所以，解得，即，
则营运的年平均利润，
当且仅当，即时取等号
故答案为：5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），，
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面积.
【小问1详解】
由于，∴.
又∵，∴.∴.
【小问2详解】
∵，且，，，
∴，解得或（舍）.
∴，.∴.
18、（1）
（2）回归直线方程是理想的
【解析】（1）根据表格数据求得，利用最小二乘法可求得回归直线方程；
（2）令回归直线中的可求得估计数据，对比检验数据即可确定结论.
小问1详解】
由表格数据可知：，，
，则，
关于的回归直线方程为；
【小问2详解】
令回归直线中的，则，
，（1）中所得到的回归直线方程是理想的.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）求出平面DEF的法向量，利用空间向量求解
【小问1详解】
证明：因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，，
设，则，
所以，所以，
所以
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
设直线BF与平面DEF所成角为，则
，
所以直线BF与平面DEF所成角的正弦值为

20、（1）8（2）454
（3）证明见详解
【解析】（1）n元集合的直接个数为可得；
（2）由已知结合可得，或，然后可得集合的包含关系可解；
（3）根据每两个相同整数之间的整数个数之和与总的数字个数之间的关系可证.
【小问1详解】
当时，集合的子集个数为
【小问2详解】
易知，又，
所以，即，
得，或，所以或
1）若，则满足条件的集合对共有
，
2）若，同理，满足条件集合对共有243
3）当A=B时，满足条件的集合对共有
所以，满足条件集合对共243+243-32=454个.
【小问3详解】
记，则1，1，2，2，··，，共2n个正整数，
将这2n个正整数按照要求排列时，需在1和1中间放入1个数，在2和2中间放入2个数，…，在n和n中间放入n个数，共放入了个数，由于排列完成后共有2n个数，且1，1，2，2，··，，刚好放完，所以放入数字个数必为偶数，即Z，所以，Z，所以是4的倍数
21、（1）
（2）当或时，有最大值是20
【解析】（1）用等差数列的通项公式即可.
（2）用等差数列的求和公式即可.
【小问1详解】
在等差数列中，∵,
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴当或时，有最大值是20
22、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由已知条件可得，，则，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）如图，过点作，交直线于点，连接，可证得平面，从而是与平面所成的角，然后在求解即可
【详解】（1）证明：由，，，，得，所以，由
由，，，，得，
由，得，
由，得，所以，
故，又，因此平面
（2）解如图，过点作，交直线于点，连接
由平面，平面，得
平面平面，由，得平面，
所以是与平面所成的角
由，，
得，，
所以，故
因此，直线与平面所成的角的正弦值是

【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点作，交直线于点，连接，然后结合条件可证得是与平面所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题