2025-2026学年广西柳州铁路第一中学高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2025-2026学年广西柳州铁路第一中学高二数学第一学期期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．算盘是中国传统计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

A. B.
C. D.
2．下列命题中，一定正确的是（ ）
A.若且，则a>0，b<0
B.若a>b，b≠0，则>1
C.若a>b且a＋c>b＋d，则c>d
D.若a>b且ac>bd，则c>d
3．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）

A. B.
C. D.
4．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．函数，则的值为（）
A B.
C. D.
6．已知直线，若异面，，则的位置关系是（ ）
A.异面 B.相交
C.平行或异面 D.相交或异面
7．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
8．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（ ）
A.36 B.24
C.12 D.6
9．若，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.锐角三角形
11．设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（）
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
12．如图，某圆锥轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点E，F，G，H为对角线与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_________

14．某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______
15．已知双曲线，左右焦点分别为，若过右焦点的直线与以线段为直径的圆相切，且与双曲线在第二象限交于点，且轴，则双曲线的离心率是_________.
16．已知正三棱台上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点.

（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
18．（12分）已知数列的前n项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前n项和
19．（12分）已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值
20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为，M是椭圆上一点．轴且
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于E，H两点，点G在椭圆C上，且四边形平行四边形（其中O为坐标原点），求
21．（12分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为
故选：B
2、A
【解析】结合不等式的性质确定正确答案.
【详解】A选项，若且，则，所以A选项正确.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，如，但，所以C选项错误.
D选项，如，但，所以D选项错误.
故选：A
3、A
【解析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.
【详解】解：因为在三棱锥中，，
所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，
则体对角线长为，外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，
故选：.

4、B
【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.
【详解】设是中点，

.
故选：B

5、B
【解析】求出函数的导数，代入求值即可.
【详解】函数,故，
所以，
故选：B
6、D
【解析】以正方体为载体说明即可.
【详解】如下图所示的正方体：
和是异面直线，，；
和是异面直线，，与是异面直线.
所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.
故选：D

7、A
【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.
【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
故选：A.
8、C
【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.
【详解】设抛物线方程为：，
因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，
所以，
又 P为C的准线上一点，
所以点P到直线AB的距离为p，
所以，解得，
所以，
故选：C
9、D
【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.
【详解】对于选项A：若，则，
由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
10、A
【解析】根据三边的关系即可求出
【详解】因，所以，而，，，
所以
，
即，所以为直角三角形
故选：A
11、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.
【详解】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；
直线和直线平行，则，解得或，
即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.
故选：.
12、C
【解析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.
【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用几何概型概率计算公式，计算得所求概率.
【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，
故若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内概率为
故答案为：.
14、##0.2
【解析】根据二项分布的均值和方差的计算公式可求解
【详解】依题意得X服从二项分布，则，解得，
故答案为：
15、
【解析】根据题意可得，进而可得，再根据，可得再根据双曲线的定义，即可得到，进而求出结果.
【详解】如图所示：设切点为，

所以，又轴
所以，
所以，
由，，所以
又，所以
故答案为：.
16、
【解析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.
【详解】上底面的面积为，下底面的面积为，则这个正三棱台的体积为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取中点，由面面垂直和线面垂直性质可证得，结合，由线面垂直判定可证得平面，由线面垂直性质可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
取中点，连接，

为等边三角形，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
分别为中点，，又，，
平面，，平面，
又平面，.
【小问2详解】
以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，
设，则，，
由得：，解得：，即，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，；
由图象知：二面角为锐二面角，二面角的大小为.
18、（1）；（2）
【解析】（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.
【详解】（1）当时,由得；
当时,由
得
是首项为3,公比为3的等比数列

当,满足此式
所以
（2）由（1）可知

,

【点睛】本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.
19、（1）
（2）128
【解析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.
（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.
【小问1详解】
设抛物线上任一点为，则，
所以当时，，
又∵，∴，即
所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，
由题意可知，的斜率k存在且不为0
设的方程为由，得
，
同理可得，

，
当且仅当时，即时，等号成立
∴四边形AMBN面积的最小值为128
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质即可求出；
（2）设，联立与椭圆方程，求出，再根据平行四边形的性质求出点的坐标，然后由点G在椭圆C上，可求出，从而可得
【小问1详解】
∵椭圆C的右顶点为，∴，∵轴，且，∴，∴，所以椭圆C的标准方程为
【小问2详解】
设，
将直线代入，
消去y并整理得，
由，得．（*）
由根与系数的关系可得，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，得，
将G点坐标代人椭圆C的方程得，满足（*）式
∴
21、（1），;
（2）.
【解析】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；
（2）求出，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
解：，
.
当时，，适合.
.
设等比数列公比为，
，
，即，
或（舍去），
.
【小问2详解】
解：，
，
，
上述两式相减，得，
所以
所以
.
22、
【解析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则

设平面ACD1的法向量.
，又为平面ACD1的一个法向量
，化简得
令x=1，得y=z=1.
平面ACD1的一个法向量.
【点睛】本题主要考查了求平面的法向量，属于中档题.